назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [ 8 ] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


8

d) Ежедневный расход сырья Ml должен быть не менее 24 т.

e) Ежедневный расход сырья Ml должен быть не менее 24 т, и ежедневный объем производства краски для внутренних работ должен не менее чем на одну тонну превышать ежедневный объем производства краски для наружных работ.

4. Для исходной задачи компании Reddy Mikks определите угловые точки области допустимых решений, где достигается оптимальное решение для следующих целевых функций:

a) г = Зл:, + х2\

b) г = ж, + Зх2;

c) г = 6л:, + 4х2.

Чем решение для целевой функции п. с отличается от решений для целевых функций пп. а и Ы

5. Джек - студент-первокурсник. Он пришел к выводу, что одна только учеба, без ежедневной игры в баскетбол, плохо влияет на его умственное, нравственное и физическое развитие. Поэтому он решил распределить свое дневное время (примерно 10 часов) для учебы и игры в баскетбол. Привлекательность игрового времени он оценивает в два раза выше, чем привлекательность времени, затраченного на учебу. Но, имея совесть и чувство долга, Джек решил, что время для игры не должно превышать время учебы. Кроме того, он заметил, что, если выполнять все учебные задания, на игру останется не более 4 часов в день. Помогите Джеку распределить время так, чтобы он получал максимальное удовольствие и от работы, и от игры.

2.2.2. Нахождение минимума целевой функции

Пример 2.2.2. Задача "диеты"

Фармацевтическая фирма Ozark ежедневно производит не менее 800 фунтов3 некой пищевой добавки - смеси кукурузной и соевой муки, состав которой представлен в следующей таблице.

Белок Клетчатка

Стоимость

Мука

(в фунтах на фунт муки)

(в долл. за фунт)

Кукурузная

0,09 0,02

0,30

Соевая

0,60 0,06

0,90

Диетологи требуют, чтобы в пищевой добавке было не менее 30% белка и не более 5% клетчатки. Фирма Ozark хочет определить рецептуру смеси минимальной стоимости с учетом требований диетологов.

Практически во всех примерах при описании реальных ситуаций автор пользуется системой мер, принятой в США. Мы не стали переводить эти единицы измерения в метрическую систему, так как названия единиц никак не влияют ни на описание примеров, ни на понимание методов, иллюстрируемых ими. - Прим. ред.



Поскольку пищевая добавка состоит только из кукурузной и соевой муки, переменными для этой задачи,очевидно, будут:

jCj - количество (в фунтах) кукурузной муки, используемой в дневном производстве пищевой добавки;

х, - количество (в фунтах) соевой муки, используемой в дневном производстве пищевой добавки.

Целевая функция равна общей стоимости пищевой добавки, производимой за один день, и должна быть минимальной. В данном случае это можно записать следующим образом:

минимизировать z - 0,3х, + 0,9х2.

Ограничения модели должны отражать производственные требования и рекомендации диетологов. Фирма должна выпускать не менее 800 фунтов смеси в день; соответствующее ограничение будет записано следующим образом:

х, + х2>800.

Рассмотрим ограничение, связанное с количеством белка в пищевой добавке. Общее количество белка в смеси, состоящей из х, фунтов кукурузной муки и х, фунтов соевой муки, равно 0,09х, + 0,6х2 (фунтов). Это количество должно составлять не менее 30% от общего объема смеси х1+х2. Отсюда получаем следующее неравенство:

0,09л:, + 0,6х2 > 0,3(х1 + х2).

Аналогично строится ограничение для клетчатки:

0,02х, + 0,06х2 < 0,05(х! + х,).

В последних двух неравенствах переменные х1 и х2 надо перенести из правых частей неравенств в левые. Окончательно модель примет следующий вид.

Минимизировать z = 0,3х1 + 0,9х2

при ограничениях

х, +х2>800, 0,21х,-0,30х2<0, О.ОЗх, -0,01х2>0, х,,х2>0.

На рис. 2.3 показано графическое решение этой задачи. В отличие от модели примера 2.2.1, здесь две прямые, соответствующие неравенствам ограничений, проходят через начальную точку (0, 0). Для того чтобы провести на графике такую прямую, необходима еще одна точка. Координаты этой точки можно найти, подставив в уравнение прямой любое значение для одной переменной, и затем из этого уравнения вычислить значение для другой. Например, для второго неравенства из системы ограничений положим х; = 200, тогда для второй переменной получаем уравнение 0,21x200 -0,3х2 = 0; отсюда имеем х2 = 140. Таким образом, прямая 0,21х, - 0,30х2 = 0 проходит через точки (0, 0) и (200, 140). Заметим также, в данном случае для определения допустимого полупространства нельзя использовать в качестве "тестовой" точку (0, 0), здесь следует взять какую-либо другую, например (100, 0) или (0, 100).

Поскольку в данной модели следует минимизировать целевую функцию, нужно идти в направлении уменьшения ее значений (это направление на рис. 2.3 показано стрелкой). Оптимальное решение находится на пересечении прямых х, + х2 = 800



и 0,21л, - 0,30дг2 = 0, откуда получаем дг, = 470,6 (фунтов) и х2 = 329,4 (фунтов). При этих значениях переменных минимальная стоимость производимой ежедневно пищевой добавки составляет z = 0,3 х 470,6 + 0,9 х 329,4 = 437,64 долл.

О 500 N Ш00 1500

Рис. 2.3. Графическое решение задачи "диеты"

УПРАЖНЕНИЯ 2.2.2

1. Определите направление убывания следующих целевых функций:

a) минимизировать z = 4х, - 2х2;

b) минимизировать z = -Зле, + х2;

c) минимизировать z = -х, - 2х2.

2. В задачу "диеты" добавлено еще одно ограничение: ежедневный расход кукурузной муки ограничен 450 фунтами. Постройте новое пространство допустимых решений и найдите новое оптимальное решение.

3. Найдите оптимальное решение в задаче "диеты" при условии, что ежедневное производство пищевой добавки не должно превышать 800 фунтов. Имеет ли такое решение смысл?

4. Джон, помимо занятий в школе, для поддержания надлежащего финансового уровня должен подрабатывать не менее 20 часов в неделю. Для этого у него есть прекрасная возможность работать в двух магазинчиках. В первом он может работать от 5 до 12 часов в неделю, а во втором - от 6 до 10 часов. Оба магазина предлагают одинаковую почасовую оплату. Джон должен определиться, в каком магазине и сколько ему работать, исходя из фактора "напряженности" работы. Основываясь на сведениях, полученных при общении

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [ 8 ] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]