Таблица 5.20
1 2 3 4 Штрафы для строк
| | | | | | | 11-2 = 9 |
| | | | | | | 9-7 = 2 |
| | | | | | | 16-14 = 2 |
| | | | | | | |
0 15 15 15
Штрафы для столбцов - 5 7 7
Продолжая этот процесс, находим, что на следующем шаге вторая строка будет иметь наибольший штраф (20 -9 = 11). Поэтому переменной х23 присваиваем значение 15. В результате будет вычеркнут третий столбец, во второй строке останется нереализованным предложение объемом в 10 единиц. Остается невычеркнутым только четвертый столбец с положительным неудовлетворенным спросом объемом в 15 единиц. Применяя метод наименьшей стоимости к этому столбцу, последовательно получаем л14 = 0, x3t = 5 и x2i = 10 (проверьте!). Соответствующее значение целевой функции равно
z = 15 х2 + 0х 11 + 15x9 + 10 х 20 + 5x4 + 5x 18 = 475 долл.
В данном случае значение целевой функции такое же, как и при методе наименьшей стоимости. Но обычно метод Фогеля дает наилучшее начальное решение для транспортной задачи.
УПРАЖНЕНИЕ 5.3.1
1. Найдите начальные решения методами северо-западного угла, наименьшей стоимости и Фогеля для следующих транспортных задач.
5.3.2. Итерационный алгоритм решения транспортной задачи
После определения начального решения (с помощью одного из трех методов, описанных в предыдущем разделе) применяется алгоритм, позволяющий найти оптимальное решение транспортной задачи.
Шаг 1. На основе симплексного условия оптимальности среди текущего множества небазисных переменных определяется вводимая в базис переменная, которая может улучшить значение целевой функции. Если условие оптимальности выполняется для всех небазисных переменных, вычисления заканчиваются, в противном случае необходимо перейти ко второму этапу.
Шаг 2. С помощью симплексного условия допустимости определяется исключаемая из базиса переменная. Происходит изменение базиса и возврат к первому этапу.
При изменении базиса в данном случае не используются вычисления, выполняемые при реализации симплекс-метода, - специальная структура транспортной таблицы позволяет значительно упростить вычисления.
Пример 5.3.5
Решим транспортную задачу из примера 5.3.1, используя начальное решение (табл. 5.21), полученное методом северо-западного угла в примере 5.3.2.
Таблица 5.21
12 3 4 Предложение
Спрос 5 15 15 15
Определение вводимой переменной среди текущих небазисных (т.е. среди тех переменных, которые не входят в начальное базисное решение) основано на вычислении коэффициентов z-строки, соответствующих небазисным переменным, с использованием метода потенциалов (который, как будет показано в разделе 5.4, основан на соотношениях двойственности задачи ЛП).
В методе потенциалов каждой строке i и каждому столбцу j транспортной таблицы ставятся в соответствие числа (потенциалы) ut и vy. Для каждой базисной переменной х, потенциалы ut и vy (как показано в разделе 5.4) удовлетворяют уравнению
В рассматриваемой задаче имеем 7 неизвестных переменных (потенциалов) и 6 уравнений, соответствующих шести базисным переменным. Чтобы найти значения потенциалов из этой системы уравнений, нужно присвоить одному из них произвольное значение (обычно полагают и, = 0) и затем последовательно вычислять значения остальных потенциалов.
Базисные переменные | Уравнения относительно потенциалов | Решение |
| и: + vi = 10 | Ui = 0 -> = 10 |
| щ + v2 = 2 | 1/1 = 0 -> i/2 = 2 |
| U2 + V2 = 7 | l/2 = 2-t/2 = 5 |
| 1/2+1/3 = 9 | 1/2 = 5 -> 1/3 = 4 |
| u2 + V4 = 20 | 1/2 = 5 -> 1/4 = 1 5 |
| 1/3+1/4 = 18 | 1/4 = 15 -> 1/3 = 3 |
Итак, имеем
Wj = 0, ы2 = 5, u3 - 3,
v, = 10, v2 = 2, v3 = 4, v4= 15.
Далее, используя найденные значения потенциалов, для каждой небазисной переменной вычисляются величины ul + vt - с,. Результаты вычисления этих величин приведены в следующей таблице.
Небазисные переменные
Значения и, + i/y - с,у
Х13 *14 *21 *31 *32 *33
Щ + 1/з - Ci3 = 0 + 4 - 20 = -16 Ul + 1/4 - С14 = 0 + 15- 11 = 4 и2 + 1/1 - с21 = 5 + 10- 12 = 3 из + 1/1 - с31 = 3 + 10 - 4 = 9 иъ + 1/2 - с32 = 3 + 2 - 14 = -9 и3 + 1/3 - Сзз = 3 + 4 - 16 = -9
Вычисленные значения совместно с нулевыми значениями для базисных переменных (поскольку ut + v - ctj = 0 для любой базисной переменной х ) фактически являются коэффициентами z-строки симплекс-таблицы.
Поскольку в транспортной задаче ведется поиск минимума стоимости перевозок, вводимой в базис будет переменная, имеющая наибольший положительный коэффициент в z-строке. В данном случае вводимой переменной будет лг31.
Описанные вычисления обычно выполняются непосредственно в транспортной таблице, как показано в табл. 5.22. В этом случае нет необходимости в явном виде выписывать уравнения для потенциалов. Вычисления в транспортной таблице начинаются с присвоения потенциалу их нулевого значения: их = 0. Затем вычисляются v-потенциалы для всех столбцов, имеющих базисные переменные в первой строке. Далее на основании уравнения для потенциалов, соответствующего переменной jc22, определяется величина потенциала и2. Зная значение потенциала и2, вычисляем потенциалы v3 и v4, что позволяет найти потенциал и3. Поскольку все потенциалы определены, далее вычисляются величины ut + vs - ctj для каждой небазисной переменной х . Эти величины показаны в табл. 5.22 в левом нижнем углу ячеек транспортной таблицы.