назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [ 32 ] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


32

Оптимальное решение задачи ЛП можно "считать" из симплекс-таблицы следующим образом. Неотрицательные (базисные) переменные представлены в столбце "Базис", а их значения- в столбце "Решение". В данном примере имеем следующее.

Переменные задачи

Оптимальные значения

Интерпретация

Ежедневно следует производить 3 т краски для наружных работ

Ежедневно следует производить 1,5 т краски для внутренних работ

Ежедневный доход составляет 21 тыс. долл.

Вы можете s3 = 5/2 hs4 =

проверить, что значения дополнительных переменных 5, = s2 = 0, 1/2 согласуются со значениями переменных и х2.

С помощью симплекс-таблицы можно получить много дополнительной информации (кроме непосредственно оптимального решения).

1. Состояние ресурсов.

2. Цена единицы ресурсов (двойственные цены).

3. Все данные, необходимые для проведения анализа чувствительности оптимального решения.

Здесь мы покажем, как определить состояние (статус) ресурсов. Вычисление двойственных цен и использование данных симплекс-таблицы для проведения анализа чувствительности описано в главе 4.

Статус ресурса определяется как дефицитный или недефицитный, в зависимости от того, будет он использован полностью или нет. Эту информацию можно получить из результирующей симплекс-таблицы путем проверки значений дополнительных (остаточных) переменных, ассоциируемых с соответствующими ограничениями, налагаемыми на ресурсы. Если дополнительная переменная равно нулю, значит, ресурс использован полностью, и он получает статус дефицитного. Положительное значение дополнительной переменной указывает на недефицитность соответствующего ресурса.

В задаче о компании Reddy Mikks четыре ограничения классифицируются следующим образом.

Ресурс

Остаточная переменная

Статус

Сырье М1

Si =0

Дефицитный

Сырье М2

s2 = 0

Дефицитный

Ограничение на спрос 1

S3 = 2,5

Недефицитный

Ограничение на спрос 2

Si = 0,5

Недефицитный

Статус ресурсов показывает, что, поскольку Ml и М2 дефицитны, их увеличение может привести к улучшению оптимального решения (т.е. увеличению значения целевой функции). Процедура анализа чувствительности поможет определить, на сколько можно увеличить объемы ресурсов. Этот вопрос исследовался в разделах 2.3.2 и 2.3.3, полное его решение представлено в главе 4.



В примере 3.3.1 велся поиск максимума целевой функции. В случае минимизации целевой функции исключаемые переменные определяются точно так же, как и при ее максимизации. Поскольку задача минимизации сводится к задаче максимизации простым соотношением max z = - min(-z), то в случае минимизации целевой функции вводимая переменная выбирается как небазисная с наибольшим положительным коэффициентом в z-строке симплекс-таблицы, а минимум целевой функции будет достигнут тогда, когда все коэффициенты в z-строке будут неположительными.

Два правила выбора вводимых и исключающих переменных в симплекс-методе назовем условием оптимальности и условием допустимости. Сформулируем эти правила, а также рассмотрим последовательность действий, выполняемых при реализации симплекс-метода.

Условие оптимальности. Вводимой переменной в задаче максимизации (минимизации) является небазисная переменная, имеющая наибольший отрицательный (положительный) коэффициент в z-строке. Если в z-строке есть несколько таких коэффициентов, то выбор вводимой переменной делается произвольно. Оптимальное решение достигнуто тогда, когда в z-строке все коэффициенты при небазисных переменных будут неотрицательными (неположительными).

Условие допустимости. Как в задаче максимизации, так и в задаче минимизации в качестве исключаемой выбирается базисная переменная, для которой положительное отношение значения правой части ограничения к положительному коэффициенту ведущего столбца минимально. Если базисных переменных с таким свойством несколько, то выбор исключаемой переменной выполняется произвольно.

Теперь приведем последовательность действий, выполняемых в симплекс-методе.

Этап 0. Находится начальное допустимое базисное решение.

Этап 1. На основе условия оптимальности определяется вводимая переменная. Если вводимых переменных нет, вычисления заканчиваются.

Этап 2. На основе условия допустимости выбирается исключаемая переменная.

Этап 3. Методом Гаусса-Жордана вычисляется новое базисное решение. Переход к п. 1.

УПРАЖНЕНИЯ 3.3.2

1. Это упражнение должно показать значимую роль условия допустимости в симплекс-методе. В примере 3.3.1 в первой симплекс-таблице мы использовали минимальное неотрицательное значение из множества вычисленных отношений для определения исключаемой переменной. Такой выбор исключаемой переменной гарантирует, что новое значение базисной переменной не будет отрицательным. Для иллюстрации этого утверждения на первом шаге вместо переменной s, исключите из базисного решения переменную s2. Далее посмотрите на результирующую симплекс-таблицу, вы должны увидеть, что переменная s, приняла отрицательное значение (= -12). Это показывает, что полученное решение недопустимо.

2. Рассмотрим следующее множество ограничений.

x, + 2a;2-2a;3 + 4a;4<40, 2хх - х2 + х3 + 2xt < 8, 4jc, - 2х2 + х3 - xt < 10, дг,, х2, х3, х4 - 0.



С учетом этих ограничений решите следующие задачи ЛП.

a) Максимизировать г = 2#, + х2 - Зх3 + 5хл.

b) Максимизировать г = 8л:, + 6х2 + Зх3 - 2xt.

c) Максимизировать г = Зхх - х2+ Зх3 + 4х4.

d) Минимизировать г - 5л:, - 4л:2 + 6л:3 - 8л:4.

e) Минимизировать г = -4л:, + 6л:2 - 2л:3 + 4л:4.

3. Дана следующая система уравнений:

л:, + 2х2 - Зл:3 + 5л:4 + л:5 = 4, 5л:, - 2л:2 + 6л:4 + х6 = 8, 2л:, + Зл:2 - 2*3 + 3*4 + х7 = 3, -хх + х3- 2х4 + xs = О,

Пусть переменные л:5, х6, х7 и л:8 составляют начальное допустимое базисное решение. Предположим, что в базис вводится переменная хг Определите, какую из переменных текущего базисного решения следует исключить из базиса так, чтобы все переменные остались неотрицательными. Найдите значение переменной хх в этом новом базисе. Повторите это упражнение для переменных л:2, л:3 и л:4.

4. Дана следующая задача ЛП.

Максимизировать z = xt

при ограничениях

5л:, + л:2 = 4, 6л;, + л:3 = 8, Зл:, -Ь лг4 - 3, л:,, л:2, л:3, л:4>0.

a) Решите эту задачу путем нахождения точек пересечений (не используя метод Гаусса-Жордана), на каждом шаге интерпретируя полученные результаты в терминах базисных решений симплекс-метода.

b) Повторите решения задачи ЛП при тех же ограничениях, что и в п. а, но для минимизации целевой функции z = л:,.

5. Решите следующую задачу ЛП путем нахождения точек пересечений, на каждом шаге интерпретируя полученные результаты в терминах базисных решений симплекс-метода.

Максимизировать z = 5хх - 6х2 + Зх3 - 5xt + 12л;5

при ограничениях

л:, + 3*2 + 5*3 + 6*4 + 3*5 < 90,

"2* *3> ХЬ -

(Подсказка. Базисное решение содержит только одну переменную.)

6. Следующая таблица представляет отдельную итерацию симплекс-метода. Все переменные неотрицательные. Таблица не оптимальна как для задачи максимизации, так и для задачи минимизации.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [ 32 ] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]