. х, > 1,0 < x, < 1

УПРАЖНЕНИЯ 7.1.3

1. Базисное решение Хв = (х3, х4)т = (2, 1,5)т допустимо. 4. Оптимальное значение целевой функции равно 34. Исходная задача ЛП: максимизировать z = 2х, + 5х2 при ограничениях Xj < 4, х2 < 6, х, + х2 < 8, х,, х2 > 0.

УПРАЖНЕНИЯ 7.2.1

1. а) Необходимо исключить из базиса вектор Р,. Ь) Вектор Р4 может быть частью

допустимого базиса В = (Р2> Р4).

2. Для базисного вектора Хв имеем

{г, - с} = СВВ]В - Ся - Св1 - Св = Св - Св = 0.

7. Из условия невырожденности следует, что количество смежных крайних точек должно быть п-т.

10. В случае вырожденности число крайних точек меньше числа базисных решений.

11. а) Новое х, = (Старое х.)/а. Ь) Новое х = (5(Старое х.)/а.

УПРАЖНЕНИЯ 7.2.2

2. Ь) (х„х2,х3) = (1,5, 2, 0), г = 5.

УПРАЖНЕНИЯ 7.3

2. (х„ х2, х3, х4, х5, х6) = (0, 1, 0,75, 1, 0, 1), г = 22.

УПРАЖНЕНИЯ 7.4

1. с) Добавляется искусственное ограничение х2 < М. Тогда

(хр х2) = аДО, 0) + а2(10, 0) + а3(20, 10) + а4(20, М) + а5(0, М), ах + а2 + а3 + а4 + а5 = 1, а > 0, i = 1, 2, 5.

2. Подзадача 1: (х„ х2) = аДО, 0) + а2(12/5, 0) + а3(0, 12).

Подзадача 2: (х3, х4) = (5,(5, 0) + р2(50, 0) + р3(0, 10) + р4(0, 5).

Оптимальное решение: а, = а2 = 0, а3 = 1 => х, = 0, х2 = 12, р, = 0,4889, Р2 = 0,5111, Рз = Р4 = 0 х3 = 28, х4 = 0.

6. Поскольку исходная задача является задачей минимизации, каждая подзадача должна быть задачей максимизации. Оптимальное решение: (ас,, х2, х3, х4) = (5/3, 10/3, 0, 20), z = -245/3.

УПРАЖНЕНИЯ 7.5.1

2. Максимизировать w = Yb при ограничениях YA < С, Y > 0.

УПРАЖНЕНИЯ 7.5.2

5. Первый способ: если Хв = (2, 6, 2)т, тогда (ft,, b2, Ьг) = (4, 6, 8) => оптимальное значение целевой функции двойственной задачи = 34.

Второй способ: если Y (0, 3, 2), тогда (с,, с2) = (2, 5) => оптимальное значение целевой функции прямой задачи = 34.

7. Минимизировать w = Yb при ограничениях YA = С, переменные Y произвольного знака.

УПРАЖНЕНИЯ 7.6.1

1. -2/7<<<1.

2. а)

5. {г. - С;}у.145 = (4 - St/2 - 3t2/2, 1 - t2, 2 - t/2 + t2/2). Базис остается оптимальным при 0 < t < 1.

УПРАЖНЕНИЯ 7.6.2

1. а) £, = 10, В, = (Р2, Р3, Р4).

2. Для ( = 0 имеем (х,, х2, х6) =(0,4,1,8,1). Этот базис сохраняется при 0 < (< 1,5. При t > 1,5 это решение становится недопустимым.

ГЛАВА8

УПРАЖНЕНИЯ 8.1

1. Вводится еще одна целевая функция: минимизировать G5 = si при дополнительном ограничении 55хн + 3,5хр + 5,5х0 - 0,0675х„ + - s< = 0.

3. Обозначим через х, количество первокурсников - жителей данного штата, через х2 - число первокурсников - жителей других штатов, через х3 - количество первокурсников-неамериканцев. Частные целевые функции:

минимизировать G, = .v,+, i = 1, 2, 5, при ограничениях

х, + х2 + х3 + s; - s; = 1200,

2*, + *2 - 2*3 + s2 - s2 = О,

-0,1*,-од*2 + о,9*3+- s~3 =0>

0,125*,-0,05*2- 0,556*3 + sA - st = 0, -0.2*,+0,8*2-0,2*з+ *s s~s =°. все переменные неотрицательны.

5. Обозначим через х. количество партий изделий, изготовленных в у-ю смену, j = 1, 2, 3. Получаем задачу:

минимизировать s* + s~ при ограничениях -100*, + 40*2 - 80*з + *Г - s; =0, 4<хг< 5, 10 < *2 < 20, 3 < *3 < 5.

УПРАЖНЕНИЯ 8.2.1

1. Целевая функция: минимизировать z = s{ + s2 + + s~ + .

Решение: хн = 0,0201, хр = 0,0457, хо = 0,0582, *„= 2 цента, .sj = 1,45, все остальные s, равны нулю. Сумма налога на бензин составляет 1,45 млн. долл. вместо желаемых 1,6 млн.

4. Пусть *, - количество известняка (фунты), потребляемого в день для приготовления кормовой смеси, *2 - количество зерна (фунты), потребляемого в день, *3 - количество соевой муки (фунты), потребляемого в день.

Целевая функция: минимизировать z = sx +s2 +s3+ +sl .

Решение: *, = 166,08, *2 = 2778,56, *3 = 3055,36, 2 = 0. Все цели удовлетворяются.

7. Для производства 80 единиц первого изделия и 60 единиц второго необходимо использование сверхурочных работ: 100 минут для первой операции и 120 минут - для второй.

УПРАЖНЕНИЯ 8.2.2

2. Оптимизация целевой функции G, дает *„ = 0,0204, х = 0,0457, хо = 0,0582, *„ = 2, другие переменные равны 0. Цели G,, G2, G3 и G4 удовлетворяются, цель Gs - нет. Оптимизация целевой функции Gb дает такое же решение, что и оптимизация целевой функции плюс =1,45 . Это указывает на то, что цель Gb удовлетворить невозможно.

ГЛАВА 9

УПРАЖНЕНИЯ 9.1.1

3. Обозначим через лс. количество бутылок типа i, полученных индивидуумом при этом i = 1 (полная бутылка), 2 (заполненная наполовину), 3 (пустая), ; = 1, 2,3. Возможное решение: *„ = 3, *21 = 1, *3, = 3, *12 = 3, *22 = 1, *32 = 3, *13 = 1, *23 = 5, *33 = 1. Задача имеет и другие решения.