назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [ 275 ] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


275

4. Квадратичная форма Q(X) называется отрицательно полуопределенной, если квадратичная форма -Q(X) является положительно полуопределенной.

5. Во всех остальных случаях квадратичная форма называется неопределенной.

Можно доказать, что необходимыми и достаточными условиями того, что квадратичная форма будет принадлежать одному из перечисленных выше типов, являются следующие утверждения.

1. Квадратичная форма Q(X) будет положительно определенной (полуопределенной), если значения всех угловых миноров определителя А положительны (неотрицательны).1 В этом случае матрица А называется положительно определенной ( полуопределенной).2

2. Квадратичная форма Q(X) является отрицательно определенной, если значения fc-x угловых миноров определителя А отличны от нуля и имеют знак (-1)*, k = 1, 2,п. В этом случае матрица А называется отрицательно определенной.

3. Квадратичная форма Q(X) является отрицательно полуопределенной, если значения fc-x угловых миноров определителя А равны нулю либо имеют знак (-1)*, ft-1,2,..., в.

А.4. ВЫПУКЛЫЕ И ВОГНУТЫЕ ФУНКЦИИ

Функция /(X) называется строго выпуклой, если для произвольных двух различных точек X, и Х2 выполняется неравенство

/(XX, + (1 - Х)Х2) < X ДХ,) + (1 - X)f(X2),

где 0 < Х< 1. Функция /(X) называется строго вогнутой, если функция -/(X) - строго выпукла.

Специальным случаем выпуклой (вогнутой) функции является квадратичная форма3

/(X) = СХ + ХГАХ,

где С - вектор констант, а А - симметрическая матрица. Можно показать, что функция /(X) будет строго выпуклой, если матрица А положительно определенная, и строго вогнутой, если А - отрицательно определенная матрица.

fc-м угловым минором определителя матрицы А„х„ называется определитель вида к = 1,2,.

В этой формулировке допущена неточность относительно положительно полуопределенных форм: квадратичная форма будет положительно полуопределенной тогда и только тогда, когда все главные миноры определителя матрицы А будут неотрицательны. Главными минорами называются определители, полученные путем вычеркивания из матрицы А строк и столбцов с одинаковыми номерами, т.е. главные миноры симметричны относительно главной диагонали. - Прим. ред.

3 Строго говоря, здесь приведена не квадратичная форма, а сумма квадратичной и линейной форм. - Прим. ред.



Литература

ЛИТЕРАТУРА

1. Hadley G. Matrix Algebra, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1961.

2. HohnF. Elementary Matrix Algebra, 2nded., Macmillan, New York, 1964.

3. Press W., Flannery В., Teukolsky A. and Vettering W. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, Cambridge, England, 1986.

Литература, добавленная при переводе

1. Ефимов Н. В. Квадратичные формы и матрицы. - М.: Наука, 1967.

2. Ланкастер П. Теория матриц. - М. Наука, 1978.

3. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. - М.: Мир, 1989.

ЗАДАЧИ

А.1. Покажите, что следующие векторы являются линейно-зависимыми.

А.2.

А.З. А.4.

А.5.

-2>

>

, з,

,~2j

, 5,

Для данных матриц

-1 2

4 8

6 10,

найдите

a) А + 7В;

b) 2А-ЗВ;

c) (А + 7В)Г.

Для матриц из задачи А.2 покажите, что АВ * ВА. Даны блочные матрицы

И В:

2 3

1 2 3 1

-4 5

6 7 0 9

Найдите произведение АВ, используя блочную структуру матриц.

Для матриц из задачи А.2 найдите А"1 и В-1

a) методом присоединенной матрицы,

b) методом последовательных исключений,



c) используя мультипликативное представление обратных матриц,

d) методом блочных матриц. А.6. Даны матрицы

(2 О 4

Предположим, что в матрице В третий вектор-столбец Р3 заменяется на вектор-столбец V3 = Р, + 2Р2. В этом случае полученная матрица будет вырожденной. Покажите, как с помощью мультипликативного представления обратной матрицы можно обнаружить вырожденность исходной матрицы.

А.7. С помощью мультипликативного представления обратной матрицы определите, какая из следующих систем уравнений имеет единственное решение, не имеет решения или имеет бесконечно много решений.

a) х, + 2х2 = 3, х, + 4х2 = 2.

b) х, + 2х2 = 5, -х, - 2х2 = -5.

c) х]+х3 = 5, 4х, + х2 + Зх3 = 8, х, + Зх2 - 2х3 = 3.

А.8. Проверьте правильность формул вычисления обратных матриц с блочной структурой, приведенные в подразделе А.2.7.

А.9. Найдите матрицу, обратную к матрице

где В - невырожденная матрица.

АЛО. Покажите, что следующая квадратичная форма является отрицательно определенной.

Q(xt, х,) = 6х, + Зх, - 4х,х, - 2х,2 - Зх2.

А.11. Покажите, что следующая квадратичная форма является положительно определенной.

2(х,,х,,х3) = 2xj" + 2х; + 3х3 +2х,х, + 2х,х3. А.12. Покажите, что функция /(х) = е" строго выпукла на всей действительной оси. А. 13. Покажите, что квадратичная форма

/(х,,х,,х3) = 5х," + 5х3 +4х3 +4х,х, + 2х,х3.

является строго выпуклой. А.14. В условиях задачи А. 13 покажите, что функция-f(xv х2, х3) строго вогнута.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [ 275 ] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]