4. Квадратичная форма Q(X) называется отрицательно полуопределенной, если квадратичная форма -Q(X) является положительно полуопределенной.
5. Во всех остальных случаях квадратичная форма называется неопределенной.
Можно доказать, что необходимыми и достаточными условиями того, что квадратичная форма будет принадлежать одному из перечисленных выше типов, являются следующие утверждения.
1. Квадратичная форма Q(X) будет положительно определенной (полуопределенной), если значения всех угловых миноров определителя А положительны (неотрицательны).1 В этом случае матрица А называется положительно определенной ( полуопределенной).2
2. Квадратичная форма Q(X) является отрицательно определенной, если значения fc-x угловых миноров определителя А отличны от нуля и имеют знак (-1)*, k = 1, 2,п. В этом случае матрица А называется отрицательно определенной.
3. Квадратичная форма Q(X) является отрицательно полуопределенной, если значения fc-x угловых миноров определителя А равны нулю либо имеют знак (-1)*, ft-1,2,..., в.
А.4. ВЫПУКЛЫЕ И ВОГНУТЫЕ ФУНКЦИИ
Функция /(X) называется строго выпуклой, если для произвольных двух различных точек X, и Х2 выполняется неравенство
/(XX, + (1 - Х)Х2) < X ДХ,) + (1 - X)f(X2),
где 0 < Х< 1. Функция /(X) называется строго вогнутой, если функция -/(X) - строго выпукла.
Специальным случаем выпуклой (вогнутой) функции является квадратичная форма3
/(X) = СХ + ХГАХ,
где С - вектор констант, а А - симметрическая матрица. Можно показать, что функция /(X) будет строго выпуклой, если матрица А положительно определенная, и строго вогнутой, если А - отрицательно определенная матрица.
fc-м угловым минором определителя матрицы А„х„ называется определитель вида к = 1,2,.
В этой формулировке допущена неточность относительно положительно полуопределенных форм: квадратичная форма будет положительно полуопределенной тогда и только тогда, когда все главные миноры определителя матрицы А будут неотрицательны. Главными минорами называются определители, полученные путем вычеркивания из матрицы А строк и столбцов с одинаковыми номерами, т.е. главные миноры симметричны относительно главной диагонали. - Прим. ред.
3 Строго говоря, здесь приведена не квадратичная форма, а сумма квадратичной и линейной форм. - Прим. ред.
Литература
ЛИТЕРАТУРА
1. Hadley G. Matrix Algebra, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1961.
2. HohnF. Elementary Matrix Algebra, 2nded., Macmillan, New York, 1964.
3. Press W., Flannery В., Teukolsky A. and Vettering W. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, Cambridge, England, 1986.
Литература, добавленная при переводе
1. Ефимов Н. В. Квадратичные формы и матрицы. - М.: Наука, 1967.
2. Ланкастер П. Теория матриц. - М. Наука, 1978.
3. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. - М.: Мир, 1989.
ЗАДАЧИ
А.1. Покажите, что следующие векторы являются линейно-зависимыми.
А.2.
А.З. А.4.
А.5.
| | | -2> | | | | |
| | > | | | | | |
| , з, | | ,~2j | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | |
| , 5, | | | | | | |
Для данных матриц | |
| | | | | | | -1 2 |
| | | | | | | 4 8 |
| | | | | | | 6 10, |
найдите
a) А + 7В;
b) 2А-ЗВ;
c) (А + 7В)Г.
Для матриц из задачи А.2 покажите, что АВ * ВА. Даны блочные матрицы
И В:
2 3
1 2 3 1
-4 5
6 7 0 9
Найдите произведение АВ, используя блочную структуру матриц.
Для матриц из задачи А.2 найдите А"1 и В-1
a) методом присоединенной матрицы,
b) методом последовательных исключений,
c) используя мультипликативное представление обратных матриц,
d) методом блочных матриц. А.6. Даны матрицы
(2 О 4
Предположим, что в матрице В третий вектор-столбец Р3 заменяется на вектор-столбец V3 = Р, + 2Р2. В этом случае полученная матрица будет вырожденной. Покажите, как с помощью мультипликативного представления обратной матрицы можно обнаружить вырожденность исходной матрицы.
А.7. С помощью мультипликативного представления обратной матрицы определите, какая из следующих систем уравнений имеет единственное решение, не имеет решения или имеет бесконечно много решений.
a) х, + 2х2 = 3, х, + 4х2 = 2.
b) х, + 2х2 = 5, -х, - 2х2 = -5.
c) х]+х3 = 5, 4х, + х2 + Зх3 = 8, х, + Зх2 - 2х3 = 3.
А.8. Проверьте правильность формул вычисления обратных матриц с блочной структурой, приведенные в подразделе А.2.7.
А.9. Найдите матрицу, обратную к матрице
где В - невырожденная матрица.
АЛО. Покажите, что следующая квадратичная форма является отрицательно определенной.
Q(xt, х,) = 6х, + Зх, - 4х,х, - 2х,2 - Зх2.
А.11. Покажите, что следующая квадратичная форма является положительно определенной.
2(х,,х,,х3) = 2xj" + 2х; + 3х3 +2х,х, + 2х,х3. А.12. Покажите, что функция /(х) = е" строго выпукла на всей действительной оси. А. 13. Покажите, что квадратичная форма
/(х,,х,,х3) = 5х," + 5х3 +4х3 +4х,х, + 2х,х3.
является строго выпуклой. А.14. В условиях задачи А. 13 покажите, что функция-f(xv х2, х3) строго вогнута.