Отсюда получаем
*С =(BF)=F,B1.
Теперь осталось положить Е = F~ .
Мультипликативная форма используется для вычисления матрицы, обратной к любой невырожденной матрице В. Вычисления начинаются с матрицы В0 = I = В„. Далее строится матрица Bt как единичная матрица, у которой первый столбец совпадает с первым столбцом матрицы В. Тогда
В~ =£,80 =Е,1 = Е, .
Далее подобным образом строится матрица В2 и вычисляется В;. На i-м шаге,
если на основе единичной матрицы путем замены ее первых i столбцов столбцами матрицы В построена матрица В,, то
В(-1 = ЕВ( , - EjEjB,, =... - Е(ЕГ..Е,.
Это означает, что для исходной матрицы В обратную к ней можно вычислить по формуле В; =Е,„Е,„-,-Е1 •
Следующий пример иллюстрирует применение мультипликативного представления обратной матрицы. Пусть дана следующая матрица, для которой надо вычислить обратную.
r2 1 ОЛ
0 2 0 4 0 1
Шаг О
вп=в; =
(\ о ол 0 1 о 0 0 I
Шаг!
В, =
(2 0 0 0 1 о 4 0 1,
BP =Р
Е, =
1 >* +-0 0 2
1 0 0 1
Шаг 2
В2 =
{г 1 о) о 1 о
4 0 1
в, в-р.
0 1 о -2 0 1
е, =
2 О
+ 1/2 О [О -(-1)12 1
\ -I о
О I О 2
О 1 1
в = в; =е,в, =
1 - о
о I О
О 1 1
О 1 о -2 О 1
2 О -2
- О
Метод блочных матриц. Пусть две невырожденные матрицы А и В представимы в следующем блочном виде, причем подматрица Ап невырожденная.
| А, | | | |
(рхр) | ipxq) | и в = | (рхр) | (pxq) |
| А 22 | | |
(qxp) | (qxq) | | y(qxp) | (qxq) |
Пусть В будет матрицей, обратной к матрице А. Тогда из равенства АВ = 1л следует, что
AnBu+A12B21=I,, А„В12 + А12В22 = 0. Аналогично из равенства ВА = 1п получаем
В21Ап+В22А21=0,
B2tA12 + В22А22 = 1?.
Так как подматрица А„ невырожденная, то АИ * О, и существует обратная матрица А,,1. Тогда из приведенных уравнений получаем
В„- A" +(A„A12)D-1(A21A„I),
B12 = -(A-AI2)D-1,
B.-D-CAA-),
B22-D",
гдеБ = A22-A2,(A-A12).
Для иллюстрации применения этих формул разобьем матрицу
на блоки Ап = (1), А12 = (2, 3), А21 =
Здесь А", = 1 и
3 2 3 4
(D(2, 3) =
-1 -4Ч
-3 -5,
А.З. Квадратичные формы
D=--
Г-5 4 3 -1
( 5 4
3 J
Далее вычисляем
~i ,в,2=В 1,В2,:
Теперь нетрудно получить матрицу В = А"1.
А.З. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Пусть X = (х1У хг.....xf и
Тогда функция
2(Х) = ХгАХ = ХЕхЛ
называется квадратичной формой. Всегда можно считать, что матрица А симметрическая. В самом деле, значение квадратичной формы не изменится, если каждый коэффициент из пары ац и ajt (i Ф j) заменить на (ati + а)/2. В дальнейшем свойство симметричности матрицы А будет предполагаться. Для примера приведем квадратичную форму
| \ 0 | | |
е(Х) = (х,.хг,х3) | 2 7 | | |
| ч3 0 | | |
которая совпадает с формой
| l 1 | | fx Ai |
G(X) = (x,,xJ.x,) | 1 7 | | |
| ,2 3 | | \xlJ |
Отметим, что во второй квадратичной форме матрица симметрическая. Различают следующие типы квадратичных форм.
1. Квадратичная форма называется положительно определенной, если Q(X) > О для всех X Ф О.
2. Квадратичная форма называется положительно полуопределенной, если Q(X) > 0 для всех X и существует такой вектор X Ф О, что Q(X) = 0.
3. Квадратичная форма Q(X) называется отрицательно определенной, если квадратичная форма -Q(X) является положительно определенной.