назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [ 274 ] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


274

Отсюда получаем

*С =(BF)=F,B1.

Теперь осталось положить Е = F~ .

Мультипликативная форма используется для вычисления матрицы, обратной к любой невырожденной матрице В. Вычисления начинаются с матрицы В0 = I = В„. Далее строится матрица Bt как единичная матрица, у которой первый столбец совпадает с первым столбцом матрицы В. Тогда

В~ =£,80 =Е,1 = Е, .

Далее подобным образом строится матрица В2 и вычисляется В;. На i-м шаге,

если на основе единичной матрицы путем замены ее первых i столбцов столбцами матрицы В построена матрица В,, то

В(-1 = ЕВ( , - EjEjB,, =... - Е(ЕГ..Е,.

Это означает, что для исходной матрицы В обратную к ней можно вычислить по формуле В; =Е,„Е,„-,-Е1 •

Следующий пример иллюстрирует применение мультипликативного представления обратной матрицы. Пусть дана следующая матрица, для которой надо вычислить обратную.

r2 1 ОЛ

0 2 0 4 0 1

Шаг О

вп=в; =

(\ о ол 0 1 о 0 0 I

Шаг!

В, =

(2 0 0 0 1 о 4 0 1,

BP =Р

Е, =

1 >* +-0 0 2

1 0 0 1

Шаг 2

В2 =

{г 1 о) о 1 о

4 0 1

в, в-р.

0 1 о -2 0 1



е, =

2 О

+ 1/2 О [О -(-1)12 1

\ -I о

О I О 2

О 1 1

в = в; =е,в, =

1 - о

о I О

О 1 1

О 1 о -2 О 1

2 О -2

- О

Метод блочных матриц. Пусть две невырожденные матрицы А и В представимы в следующем блочном виде, причем подматрица Ап невырожденная.

А,

(рхр)

ipxq)

и в =

(рхр)

(pxq)

А 22

(qxp)

(qxq)

y(qxp)

(qxq)

Пусть В будет матрицей, обратной к матрице А. Тогда из равенства АВ = 1л следует, что

AnBu+A12B21=I,, А„В12 + А12В22 = 0. Аналогично из равенства ВА = 1п получаем

В21Ап+В22А21=0,

B2tA12 + В22А22 = 1?.

Так как подматрица А„ невырожденная, то АИ * О, и существует обратная матрица А,,1. Тогда из приведенных уравнений получаем

В„- A" +(A„A12)D-1(A21A„I),

B12 = -(A-AI2)D-1,

B.-D-CAA-),

B22-D",

гдеБ = A22-A2,(A-A12).

Для иллюстрации применения этих формул разобьем матрицу

на блоки Ап = (1), А12 = (2, 3), А21 =

2 ЗЛ

3 2

3 4)

Здесь А", = 1 и

3 2 3 4

(D(2, 3) =

-1 -4Ч

-3 -5,



А.З. Квадратичные формы

D=--

Г-5 4 3 -1

( 5 4

3 J

Далее вычисляем

~i ,в,2=В 1,В2,:

Г2>

и В22 =

Теперь нетрудно получить матрицу В = А"1.

А.З. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Пусть X = (х1У хг.....xf и

Тогда функция

2(Х) = ХгАХ = ХЕхЛ

называется квадратичной формой. Всегда можно считать, что матрица А симметрическая. В самом деле, значение квадратичной формы не изменится, если каждый коэффициент из пары ац и ajt (i Ф j) заменить на (ati + а)/2. В дальнейшем свойство симметричности матрицы А будет предполагаться. Для примера приведем квадратичную форму

\ 0

е(Х) = (х,.хг,х3)

2 7

ч3 0

которая совпадает с формой

l 1

fx Ai

G(X) = (x,,xJ.x,)

1 7

,2 3

\xlJ

Отметим, что во второй квадратичной форме матрица симметрическая. Различают следующие типы квадратичных форм.

1. Квадратичная форма называется положительно определенной, если Q(X) > О для всех X Ф О.

2. Квадратичная форма называется положительно полуопределенной, если Q(X) > 0 для всех X и существует такой вектор X Ф О, что Q(X) = 0.

3. Квадратичная форма Q(X) называется отрицательно определенной, если квадратичная форма -Q(X) является положительно определенной.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [ 274 ] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]