2 3 4
3 5 7
является вырожденной, поскольку
А = 1х(21 - 20) - 2х(14 - 12) + Зх(10 - 9) = 0. Вместе с тем матрица А имеет ранг г =2, так как
(\ 2\
2 3
= -1*0.
А.2.6. Обратная матрица
Если В и С - две квадратные матрицы порядка п, причем такие, что ВС = СВ = I, тогда матрица В называется обратной к матрице С, при этом матрица С также будет обратной к матрице В. Обратные матрицы обозначаются как В-1 и С"1.
Теорема. Если ВС = I и В - невырожденная матрица, тогда С = В"1, причем матрица С определяется единственным образом.
Доказательство. По условию теоремы ВС = I. Тогда, умножая это равенство справа на В"1, получим В"ВС = В 11, откуда следует, что 1С = В"1 или С = В"1. Теорема доказана.
Для невырожденных матриц справедливы также следующие результаты.
1. Если А и В невырожденные квадратные матрицы одинаковой размерности, то (АВ)"1 = ВА"1.
2. Если А - невырожденная матрица, то из равенства АВ = АС вытекает, что В = С.
Обратные матрицы находят применение при решении систем линейных уравнений. Рассмотрим систему из п линейных независимых уравнений
21 «22 аЪ, Х2 h
«„2 •• «,JUJ \Kj
где xt - неизвестные, а, и bt - заданные константы. Эта система в матричной форме запишется
АХ = Ь.
Поскольку уравнения системы линейно независимы, матрица А будет невырожденной, и, следовательно, будет существовать обратная к ней матрица. Таким образом, имеем
А АХ = А 1Ь, откуда получаем решение системы: X = А 1Ь.
А.2.7. Методы вычисления обратных матриц
Метод присоединенной матрицы. Для невырожденной матрицы А порядка п справедлива формула
А~=АасУА = Л А А
Например, для матрицы
(\ 2 3
имеем adjA =
f 6 2 •3
-5 3
и А = -7. Поэтому
А"=-
6 -2 -3
-5 4
1 1 2 7 3 7
Метод последовательных исключений (метод Гаусса-Жордана). Рассмотрим блочную матрицу (А 11), где А - невырожденная матрица. Умножая слева эту матрицу на матрицу А1, получим
(А""1 А A"I) = (I А"1).
Таким образом, при последовательном преобразовании строк исходной матрицы, обеспечивающем преобразование матрицы А в I, одновременно матрица I преобразуется в матрицу А"1.
Рассмотрим систему линейных уравнений
(\ 2 3 2 3 2 Ъ 3 4,
Вектор решений X и матрицу, обратную к матрице данной системы, можно получить из соотношения
А"(А 111 b) = (I А"11 Ab).
Реализация метода последовательных исключений приводит к следующей последовательности действий. Исходная матрица имеет вид
Итерация 1
Итерация 2
Итерация 3
f\ О О
<\ о
О 1
-5 4 7
-2 -3
-3 2 3
О О
О 1 о
О 0 1
7 2 7 3 7
2 -1 -3
7 5 7 3 7
3> -2 -4
Таким образом, получили решение системы х, = 3/7, х2 = 6/7 и х3 = 2/7. Обратная матрица А" приведена справа от единичной матрицы и совпадает с обратной матрицей, полученной методом присоединенной матрицы.
Мультипликативное представление обратной матрицы. Предположим, что две невырожденные матрицы В и Вслед различаются только одним вектор-столбцом. Пусть также дана обратная матрица В1. Имея матрицу В-, можно вычислить матрицу BjCJJ с помощью формулы
В1 =ЕВ".
след
Матрица Е находится следующим образом. Обозначим через Р. вектор-столбец матрицы В, который в матрице Вслед заменен на вектор-столбец Рг. Тогда матрицу Е можно определить как m-мерную единичную матрицу, у которой r-й столбец заменен следующим столбцом.
-(В-Р,.),
-(в-р,).
(В"РД
<- г-и элемент
-(В-р,),„
Здесь предполагается, что (В"Р)г*0, в противном случае обратной матрицы Bi, не существует.
Докажем справедливость формулы В~лсд = ЕВ-1. Обозначим через F лг-мерную
единичную матрицу, у которой r-й столбец заменен столбцом В 1Р;, т.е.
F-(e1,...,e 1,B-,P, ern, ...,ej.
Поскольку матрица Вслсд отличается от матрицы В только r-м столбцом, который в матрице Вс1ед совпадает с вектором Р;, то легко проверить равенство