назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [ 273 ] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


273

2 3 4

3 5 7

является вырожденной, поскольку

А = 1х(21 - 20) - 2х(14 - 12) + Зх(10 - 9) = 0. Вместе с тем матрица А имеет ранг г =2, так как

(\ 2\

2 3

= -1*0.

А.2.6. Обратная матрица

Если В и С - две квадратные матрицы порядка п, причем такие, что ВС = СВ = I, тогда матрица В называется обратной к матрице С, при этом матрица С также будет обратной к матрице В. Обратные матрицы обозначаются как В-1 и С"1.

Теорема. Если ВС = I и В - невырожденная матрица, тогда С = В"1, причем матрица С определяется единственным образом.

Доказательство. По условию теоремы ВС = I. Тогда, умножая это равенство справа на В"1, получим В"ВС = В 11, откуда следует, что 1С = В"1 или С = В"1. Теорема доказана.

Для невырожденных матриц справедливы также следующие результаты.

1. Если А и В невырожденные квадратные матрицы одинаковой размерности, то (АВ)"1 = ВА"1.

2. Если А - невырожденная матрица, то из равенства АВ = АС вытекает, что В = С.

Обратные матрицы находят применение при решении систем линейных уравнений. Рассмотрим систему из п линейных независимых уравнений

21 «22 аЪ, Х2 h

«„2 •• «,JUJ \Kj

где xt - неизвестные, а, и bt - заданные константы. Эта система в матричной форме запишется

АХ = Ь.

Поскольку уравнения системы линейно независимы, матрица А будет невырожденной, и, следовательно, будет существовать обратная к ней матрица. Таким образом, имеем

А АХ = А 1Ь, откуда получаем решение системы: X = А 1Ь.



А.2.7. Методы вычисления обратных матриц

Метод присоединенной матрицы. Для невырожденной матрицы А порядка п справедлива формула

А~=АасУА = Л А А

Например, для матрицы

(\ 2 3

имеем adjA =

f 6 2 •3

-5 3

и А = -7. Поэтому

А"=-

6 -2 -3

-5 4

1 1 2 7 3 7

Метод последовательных исключений (метод Гаусса-Жордана). Рассмотрим блочную матрицу (А 11), где А - невырожденная матрица. Умножая слева эту матрицу на матрицу А1, получим

(А""1 А A"I) = (I А"1).

Таким образом, при последовательном преобразовании строк исходной матрицы, обеспечивающем преобразование матрицы А в I, одновременно матрица I преобразуется в матрицу А"1.

Рассмотрим систему линейных уравнений

(\ 2 3 2 3 2 Ъ 3 4,

Вектор решений X и матрицу, обратную к матрице данной системы, можно получить из соотношения

А"(А 111 b) = (I А"11 Ab).

Реализация метода последовательных исключений приводит к следующей последовательности действий. Исходная матрица имеет вид

f3>



Итерация 1

Итерация 2

Итерация 3

f\ О О

<\ о

О 1

-5 4 7

-2 -3

-3 2 3

О О

О 1 о

О 0 1

7 2 7 3 7

2 -1 -3

7 5 7 3 7

3> -2 -4

Таким образом, получили решение системы х, = 3/7, х2 = 6/7 и х3 = 2/7. Обратная матрица А" приведена справа от единичной матрицы и совпадает с обратной матрицей, полученной методом присоединенной матрицы.

Мультипликативное представление обратной матрицы. Предположим, что две невырожденные матрицы В и Вслед различаются только одним вектор-столбцом. Пусть также дана обратная матрица В1. Имея матрицу В-, можно вычислить матрицу BjCJJ с помощью формулы

В1 =ЕВ".

след

Матрица Е находится следующим образом. Обозначим через Р. вектор-столбец матрицы В, который в матрице Вслед заменен на вектор-столбец Рг. Тогда матрицу Е можно определить как m-мерную единичную матрицу, у которой r-й столбец заменен следующим столбцом.

-(В-Р,.),

-(в-р,).

(В"РД

<- г-и элемент

-(В-р,),„

Здесь предполагается, что (В"Р)г*0, в противном случае обратной матрицы Bi, не существует.

Докажем справедливость формулы В~лсд = ЕВ-1. Обозначим через F лг-мерную

единичную матрицу, у которой r-й столбец заменен столбцом В 1Р;, т.е.

F-(e1,...,e 1,B-,P, ern, ...,ej.

Поскольку матрица Вслсд отличается от матрицы В только r-м столбцом, который в матрице Вс1ед совпадает с вектором Р;, то легко проверить равенство

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [ 273 ] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]