назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [ 272 ] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


272

6. Матрица В называется нулевой (В = 0), если все ее элементы равны нулю.

7. Две матрицы А = а,у и В = равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность и atj = Ъц для всех i и j.

А.2.3. Арифметические операции над матрицами

Для матриц определены только операции сложения (вычитания) и умножения. Операция деления матриц не определена, но в некоторых случаях ее может заменить операция обращения матриц (см. раздел А.2.6).

Сложение и вычитание матриц. Сложение (вычитание) двух матриц А =

иВ = возможно только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. Матрица суммы получается путем сложения элементов матриц А и В, т.е.

D=A+B=IKL=K+L-

Для произвольных матриц А, В и С, имеющих одинаковую размерность, справедливы следующие соотношения.

А ± В = В ± А (свойство коммутативности)

А ± (В ± С) = (А ± В) ± С (свойство ассоциативности)

(А±В)Г = АТ±ЪТ

Произведение матриц. Произведение АВ матриц А= в,у и В = определено

тогда и только тогда, когда количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В. Таким образом, если матрица А имеет размерность mxr, матрица В должна иметь размерность г х п, где шип - произвольные положительные целые числа. Пусть D = АВ. Тогда матрица D имеет размерность m х п, и ее элементы dtj для всех i и j определяются формулой

4, = 2>А •

Например, если

и В =

5 7 9\

6 8 0

((1x5 + 3x6) (1x7+3x8) (1x9 + 3x0) (2x5 + 4x6) (2x7 + 4x8) (2x9 + 4xO)J"

23 31 9 ~ ч34 46 18)

В общем случае АВ Ф ВА, даже если произведение ВА определено. Произведение матриц обладает следующими свойствами.

ImA = А1„ = А, где Im и 1„ - единичные матрицы,

(АВ)С = А(ВС),

С(А + В) = СА + СВ,

(А+В)С = АС + ВС,

ос(АВ) = (аА)В = А(аВ), а - скаляр.



Умножение блочных матриц. Пусть матрицы А и В имеют размерности тхг и rx п соответственно. Предположим, что эти матрицы представимы в виде совокупности подматриц (блоков):

А 22

и В =

Iе»

B32J

причем для всех I и j число столбцов в блоке А,у равно числу строк в блоке В/(. Тогда

А„В,2+А12В22+А,зВ3Л

АхВ =

АцВ,, + А12В2, + А13В3

Например,

А21В„+А22В21+А23В3

0)(4) + (2 3)

A2iBj + А22В22 + AB

1\ (О 5

orb«.

4 + 2 + 241

41 (40 +

30> 44 61

А.2.4. Определитель квадратной матрицы

Для квадратной матрицы

порядка п рассмотрим произведение ее элементов

где каждый столбец и каждая строка матрицы А представлены в точности одним элементом. Определим величину еЛЛ и , равную +1, если множество индексов /,, j2,

jn получено из множества натуральных чисел 1, 2, п четным числом парных перестановок, и равную -1 - в противном случае. Тогда скалярная величина

d€hk-i. Pj,h--J. р

где суммирование ведется по всем л! перестановкам индексов /„ )г, jn, называется определителем (детерминантом) матрицы А. Определитель матрицы обычно обозначается как detA или А.

«12

«21

«23

,Я31

аээ,

Например, если

то А = ап(а22а33 - а23а32) - а12(а21а33 - а31а23) + а13(а21а32 - а22а31). Определители обладают следующими свойствами.

1. Если все элементы какого-нибудь столбца или строки матрицы равны нулю, то определитель этой матрицы равен нулю.

2. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т.е. АГ = А.



3. Если матрица В получена из матрицы А путем перестановки двух каких-либо строк (или двух столбцов), тогда В = -А.

4. Если две строки (или два столбца) в матрице одинаковы, то ее определитель равен нулю.

5. Значение определителя не изменится, если какую-либо строку матрицы (столбец) умножить на скаляр и затем прибавить ее к другой строке (столбцу).

6. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) умножить на скаляр а, то значение определителя также будет умножено на это число а.

7. Если А и В - две квадратные матрицы порядка п, то

АВ = А В.

Определение минора. Минором Mtj элемента atj в определителе n-го порядка А называется определитель (n-l)-ro порядка, получаемый после вычеркивания в матрице А i-й строки и /-го столбца. Например, в определителе матрицы

имеем миноры

«и

аээ,

«23

22 =

«и

«31

Присоединенная матрица. Обозначим через Atj = (-1)+М,у алгебраическое дополнение элемента atj квадратной матрицы А. Тогда матрица, присоединенная к матрице А, определяется соотношением

(\\ Ai Аг Аг

adjA = A,f =

Например, если

(\ 2 з"

2 3 2 13 3 4,

тоА„ = (-1/(3 х 4 - 2 х 3) = 6, А12 = (-1/(2 х 4 - 3 х 2) = -2, и т.д. Отсюда получаем

adjA =

6 1 -5 -2 -5 4 -3 3 -1

А.2.5. Невырожденная матрица

Рангом матрицы называется порядок наибольшей квадратной подматрицы, определитель которой отличен от нуля. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется матрицей полного ранга или невырожденной матрицей. Например, матрица

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [ 272 ] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]