6. Матрица В называется нулевой (В = 0), если все ее элементы равны нулю.
7. Две матрицы А = а,у и В = равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность и atj = Ъц для всех i и j.
А.2.3. Арифметические операции над матрицами
Для матриц определены только операции сложения (вычитания) и умножения. Операция деления матриц не определена, но в некоторых случаях ее может заменить операция обращения матриц (см. раздел А.2.6).
Сложение и вычитание матриц. Сложение (вычитание) двух матриц А =
иВ = возможно только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. Матрица суммы получается путем сложения элементов матриц А и В, т.е.
D=A+B=IKL=K+L-
Для произвольных матриц А, В и С, имеющих одинаковую размерность, справедливы следующие соотношения.
А ± В = В ± А (свойство коммутативности)
А ± (В ± С) = (А ± В) ± С (свойство ассоциативности)
(А±В)Г = АТ±ЪТ
Произведение матриц. Произведение АВ матриц А= в,у и В = определено
тогда и только тогда, когда количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В. Таким образом, если матрица А имеет размерность mxr, матрица В должна иметь размерность г х п, где шип - произвольные положительные целые числа. Пусть D = АВ. Тогда матрица D имеет размерность m х п, и ее элементы dtj для всех i и j определяются формулой
4, = 2>А •
Например, если
и В =
5 7 9\
6 8 0
((1x5 + 3x6) (1x7+3x8) (1x9 + 3x0) (2x5 + 4x6) (2x7 + 4x8) (2x9 + 4xO)J"
23 31 9 ~ ч34 46 18)
В общем случае АВ Ф ВА, даже если произведение ВА определено. Произведение матриц обладает следующими свойствами.
ImA = А1„ = А, где Im и 1„ - единичные матрицы,
(АВ)С = А(ВС),
С(А + В) = СА + СВ,
(А+В)С = АС + ВС,
ос(АВ) = (аА)В = А(аВ), а - скаляр.
Умножение блочных матриц. Пусть матрицы А и В имеют размерности тхг и rx п соответственно. Предположим, что эти матрицы представимы в виде совокупности подматриц (блоков):
причем для всех I и j число столбцов в блоке А,у равно числу строк в блоке В/(. Тогда
А„В,2+А12В22+А,зВ3Л
АхВ =
АцВ,, + А12В2, + А13В3
Например,
А21В„+А22В21+А23В3
0)(4) + (2 3)
A2iBj + А22В22 + AB
1\ (О 5
orb«.
4 + 2 + 241
41 (40 +
30> 44 61
А.2.4. Определитель квадратной матрицы
Для квадратной матрицы
порядка п рассмотрим произведение ее элементов
где каждый столбец и каждая строка матрицы А представлены в точности одним элементом. Определим величину еЛЛ и , равную +1, если множество индексов /,, j2,
jn получено из множества натуральных чисел 1, 2, п четным числом парных перестановок, и равную -1 - в противном случае. Тогда скалярная величина
d€hk-i. Pj,h--J. р
где суммирование ведется по всем л! перестановкам индексов /„ )г, jn, называется определителем (детерминантом) матрицы А. Определитель матрицы обычно обозначается как detA или А.
Например, если
то А = ап(а22а33 - а23а32) - а12(а21а33 - а31а23) + а13(а21а32 - а22а31). Определители обладают следующими свойствами.
1. Если все элементы какого-нибудь столбца или строки матрицы равны нулю, то определитель этой матрицы равен нулю.
2. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т.е. АГ = А.
3. Если матрица В получена из матрицы А путем перестановки двух каких-либо строк (или двух столбцов), тогда В = -А.
4. Если две строки (или два столбца) в матрице одинаковы, то ее определитель равен нулю.
5. Значение определителя не изменится, если какую-либо строку матрицы (столбец) умножить на скаляр и затем прибавить ее к другой строке (столбцу).
6. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) умножить на скаляр а, то значение определителя также будет умножено на это число а.
7. Если А и В - две квадратные матрицы порядка п, то
АВ = А В.
Определение минора. Минором Mtj элемента atj в определителе n-го порядка А называется определитель (n-l)-ro порядка, получаемый после вычеркивания в матрице А i-й строки и /-го столбца. Например, в определителе матрицы
имеем миноры
Присоединенная матрица. Обозначим через Atj = (-1)+М,у алгебраическое дополнение элемента atj квадратной матрицы А. Тогда матрица, присоединенная к матрице А, определяется соотношением
(\\ Ai Аг Аг
adjA = A,f =
Например, если
(\ 2 з"
2 3 2 13 3 4,
тоА„ = (-1/(3 х 4 - 2 х 3) = 6, А12 = (-1/(2 х 4 - 3 х 2) = -2, и т.д. Отсюда получаем
adjA =
6 1 -5 -2 -5 4 -3 3 -1
А.2.5. Невырожденная матрица
Рангом матрицы называется порядок наибольшей квадратной подматрицы, определитель которой отличен от нуля. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется матрицей полного ранга или невырожденной матрицей. Например, матрица