назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [ 271 ] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


271

Литература

Решение задачи методом последовательной безусловной максимизации завершается, когда для двух последовательных значений t соответствующие оптимальные решения X, полученные в результате максимизации функции р(Х, t), примерно совпадают. В этом случае дальнейшие вычисления лишь незначительно улучшат полученное решение.

Практическая реализация алгоритма последовательной безусловной максимизации имеет ряд нюансов, которые здесь не рассматриваются. В частности, существенным фактором является выбор начального значения параметра t, который может повлиять на скорость сходимости алгоритма. Далее для определения начальной внутренней точки области допустимых решений могут потребоваться специальные алгоритмы. Соответствующие детали можно найти в книге [3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Bazaraa М., Sherall Н. and Shetty С. Nonlinear Programming, Theory and Algorithms, 2nd ed.,Wiley, New York, 1993. (Русский перевод первого издания: Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. - М.:Мир, 1982.)

2. Beightler С, Phillips D. and Wilde D. Foundations of Optimization, 2nd ed., Prentice Hall, Upper Saddle River, N. J., 1979.

3. Fiacco A. and McCormick G. Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques, Wiley, New York, 1968. (Русский перевод: Фиакко A., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. - М.: Мир, 1972.)

4. Rardin D. Optimization in Operations Research, Prentice Hall, Upper Saddle River, N. J., 1998.

Литература, добавленная при переводе

1. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. - М.: Радио и связь, 1988.

2. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. - М.: Мир, 1985.

3. Зангвилл У. И. Нелинейное программирование. - М.: Сов. радио, 1973.

4. Сухарев А. Г., Тимохов А. В., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. - М.: Наука, 1986.

5. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. - М.: Мир, 1975.



ПРИЛОЖЕНИЕ А

КРАТКИЙ ОБЗОР ТЕОРИИ МАТРИЦ

А.1. ВЕКТОРЫ

А.1.1. Определение вектора

Пусть pv р2, рп - произвольные действительные числа. Обозначим через Р упорядоченное множество этих чисел: Р = (р}, рг, ...,р„). В этом случае Р называется 71-мерным вектором (или просто вектором), apt - t-м элементом вектора Р. Например, Р = (2, 4) - 2-мерный вектор, у которогор, = 2 ир2 = 4.

А.1.2. Сложение и вычитание векторов

Пусть Р = (р1,р2, ...,р„) и Q = (grI, q2,qn) - два n-мерных вектора. Тогда элементы вектора R = (ri; г2, г„), равного R = Р ± Q, определяются соотношениями г, =р, ± q,.

В общем случае для любых векторов Р, Q и S, имеющих одинаковую размерность, выполняются следующие соотношения.

А.1.3. Умножение вектора на скаляр

Для произвольного вектора Р и скаляра 6 (произвольного действительного числа) произведение вектора Р на скаляр 6 определяет новый вектор Q, задаваемый соотношением

В общем случае для любых векторов Р и S, имеющих одинаковую размерность, и произвольных скалярных величин в и у выполняются следующие соотношения. 6(Р + S) = 6Р + 6S (свойство дистрибутивности)

P±Q=Q±P

(Р + Q) + S - Р + (Q + S)

Р + (-Р) = О

(свойство коммутативности) (свойство ассоциативности) (существование нулевого вектора)

Q = eP = (ePl,ep2, ...,6р„).

6(уР) = (ву)Р

(свойство ассоциативности)



А. 1.4. Линейная независимость векторов

Векторы Р,, Р2, Р„ называются линейно независимыми, если равенство

выполняется тогда и только тогда, когда все 6; равны нулю (Qj - произвольные действительные числа). Если указанное равенство выполняется при некоторых 60, то векторы Pj, Р2, Р„ называются линейно-зависимыми. Например, векторы Pj = (l,2) и Р2 = (2, 4) линейно зависимы, поскольку существуют ненулевые числа 9j = 2 и 92 = -1, при которых выполняется равенство

в.р. + вл-о.

А.2. МАТРИЦЫ

А.2.1. Определение матриц

Матрицей называется прямоугольный массив элементов, структурированный строками и столбцами. В матрице А элемент ац расположен на пересечении i-й строки и у-го столбца массива. Говорят, что матрица имеет порядок (размерность) тхп, если она состоит из т строк и п столбцов. Например, матрица

имеет размерность 4x3. А.2.2. Типы матриц

1. Квадратная матрица - это матрица, имеющая одинаковое количество строк и столбцов (т.е. т = п).

2. Единичная матрица - квадратная матрица, у которой все диагональные

элементы равны 1, а все недиагональные матрица порядка 3x3 имеет вид

\ О О

нулю. Например, единичная

О 1 О

10 0 1,

3. Вектор-строка - матрица, имеющая одну строку и п столбцов.

4. Вектор-столбец - матрица, имеющая т строк и один столбец.

5. Матрица Аг называется транспонированной к матрице А, если элемент atj матрицы Ат равен элементу ар матрицы А. Например,

fl

и Аг:

1 2 3 4 5 6

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [ 271 ] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]