Как и в первом случае, имеем

Yjaiixj-M{bi)

>а..

Это ограничение выполнимо лишь при выполнении неравенства

<к„.

Итак, исходное вероятностное ограничение эквивалентно детерминированному линейному

Ситуация 3. Теперь предположим, что все параметры atj и bt являются нормально распределенными случайными величинами. Перепишем ограничение

в виде

Так как все atj и bt распределены по нормальному закону, в соответствии с известными результатами математической статистики величина Е"=1аЛ также

имеет нормальное распределение. Отсюда следует, что данный вариант подобен варианту 1 и может быть рассмотрен аналогичным образом.

Пример 21.2.6

Рассмотрим задачу с вероятностными ограничениями

максимизировать г = 5х, + 6х2 + Зх,

при ограничениях

Р{аих, + а12х2 + ацх} < 8} > 0,95,

P{5xt +х2 + 6хъ<Ь2\> 0,10,

причем все х;>0. Пусть - независимые нормально распределенные случайные величины со следующими значениями математических ожиданий и дисперсий

M{an} = l,M{al2} = 3,M{aJ = 9,

D{au) = 25, D{aJ = 16, D{aJ = 4.

Пусть параметр Ьг является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 7 и дисперсией 9.

По таблице функции распределения стандартного нормального закона (приложение В) находим

Кщ=Кот~ 1,645, tfQj =*„.,„ = 1,285.

Первое ограничение задачи эквивалентно детерминированному неравенству

х, + Зх, + 9х3 +1,645N/25x12 + 16x;+4x2 < 8,

а второе ограничение - неравенству

5х, +х2 + 6х3< 7 + 1,285 х 3 = 10,855.

Если положить

у2 = 25х2 + 16х] + 4х3, исходная задача принимает следующий вид:

максимизировать г = 5х, + 6х2 + Зх3

при ограничениях

х, + Зх2 + 9х3 + 1,645у < 8, 25х12 + 16х2+4х2-у2 =0, 5х, +х2 + 6х3< 10,855,

*1> Х2 Х3> У- 0>

и может быть решена методами сепарабельного программирования.

На рис. 21.6 показано решение рассматриваемой задачи стохастического программирования в Excel (файл ch21SolverStochasticProgramming.xls). В данном случае нелинейной является только левая часть второго ограничения, которая вводится в ячейку F7 в виде формулы

=25 *В 12Л2+16С12A2+4*D 12Л2-Е 12л2

УПРАЖНЕНИЯ 21.2.4

1. Преобразуйте следующую задачу стохастического программирования в эквивалентную детерминированную модель.

Максимизировать z = х, + 2х2 + 5х3

при ограничениях

Р{а,х, + Зх2 + а3х3 < 10} > 0,9, Р{7х, + 5х2 + х3<Ь2}>0,1, хр х2, х3 > 0.

Пусть а, и а3 являются независимыми нормально распределенными случайными величинами с математическими ожиданиями М{а1) = 2 и М{а3} = 5 и дисперсиями D{al) = 9 и D{a3} = 16. Предполагается также, что Ьг - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 15 и дисперсией 25.

Поиск решения

Установить целевую ячейку: $F$5 ]4J Равной: йжгимальному значению <~ значению о~

минимальному значению

Изменяя ячейки:

$В$12:$Е$12 Ограничения:

Предположить

$В$12:$Е$12 »= О $F$6 <= $Н$6 $F$7 = JH$7 $F$8 <= $н$е

Добавить

Изменить

Удалить

Вь ипшть ] Закрыть

Параметра

Восстановить

Справка

Рис. 21.6. Решение задачи стохастического программирования в Excel 2. Дана следующая задача стохастического программирования.

при ограничениях

Максимизировать z = х, + х\ + х3

Р{х2 + а2х\ + азл/х7 < 10} > 0,9,

хг, х2, х3 > 0.

Пусть параметры а2 и а3 - независимые нормально распределенные случайные величины с математическими ожиданиями 5 и 2 и дисперсиями 16 и 25 соответственно. Преобразуйте данную задачу в детерминированную задачу сепарабельного программирования.

21.2.5. Метод линейных комбинаций

Этот метод ориентирован на решение задач, в которых все ограничения являются линейными:

максимизировать z = f (X)

АХ<Ь,Х>0.