Как и в первом случае, имеем
Yjaiixj-M{bi)
>а..
Это ограничение выполнимо лишь при выполнении неравенства
<к„.
Итак, исходное вероятностное ограничение эквивалентно детерминированному линейному
Ситуация 3. Теперь предположим, что все параметры atj и bt являются нормально распределенными случайными величинами. Перепишем ограничение
в виде
Так как все atj и bt распределены по нормальному закону, в соответствии с известными результатами математической статистики величина Е"=1аЛ также
имеет нормальное распределение. Отсюда следует, что данный вариант подобен варианту 1 и может быть рассмотрен аналогичным образом.
Пример 21.2.6
Рассмотрим задачу с вероятностными ограничениями
максимизировать г = 5х, + 6х2 + Зх,
при ограничениях
Р{аих, + а12х2 + ацх} < 8} > 0,95,
P{5xt +х2 + 6хъ<Ь2\> 0,10,
причем все х;>0. Пусть - независимые нормально распределенные случайные величины со следующими значениями математических ожиданий и дисперсий
M{an} = l,M{al2} = 3,M{aJ = 9,
D{au) = 25, D{aJ = 16, D{aJ = 4.
Пусть параметр Ьг является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 7 и дисперсией 9.
По таблице функции распределения стандартного нормального закона (приложение В) находим
Кщ=Кот~ 1,645, tfQj =*„.,„ = 1,285.
Первое ограничение задачи эквивалентно детерминированному неравенству
х, + Зх, + 9х3 +1,645N/25x12 + 16x;+4x2 < 8,
а второе ограничение - неравенству
5х, +х2 + 6х3< 7 + 1,285 х 3 = 10,855.
Если положить
у2 = 25х2 + 16х] + 4х3, исходная задача принимает следующий вид:
максимизировать г = 5х, + 6х2 + Зх3
при ограничениях
х, + Зх2 + 9х3 + 1,645у < 8, 25х12 + 16х2+4х2-у2 =0, 5х, +х2 + 6х3< 10,855,
*1> Х2 Х3> У- 0>
и может быть решена методами сепарабельного программирования.
На рис. 21.6 показано решение рассматриваемой задачи стохастического программирования в Excel (файл ch21SolverStochasticProgramming.xls). В данном случае нелинейной является только левая часть второго ограничения, которая вводится в ячейку F7 в виде формулы
=25 *В 12Л2+16С12A2+4*D 12Л2-Е 12л2
УПРАЖНЕНИЯ 21.2.4
1. Преобразуйте следующую задачу стохастического программирования в эквивалентную детерминированную модель.
Максимизировать z = х, + 2х2 + 5х3
при ограничениях
Р{а,х, + Зх2 + а3х3 < 10} > 0,9, Р{7х, + 5х2 + х3<Ь2}>0,1, хр х2, х3 > 0.
Пусть а, и а3 являются независимыми нормально распределенными случайными величинами с математическими ожиданиями М{а1) = 2 и М{а3} = 5 и дисперсиями D{al) = 9 и D{a3} = 16. Предполагается также, что Ьг - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 15 и дисперсией 25.
| | | =?5*B 12Л2+16*C 12A2+4*D12Л2-Е12Л2 | | |
| | | | | | L J G | |
| | Stochastic Programming Model | | | |
| Input data: |
| | | | | | | | |
| | | | | | Totals | | Limits |
| Objective | | | | | 4.66129 I | |
| Constraint 1 | | | | 1.646 | 2 529435 | <= | |
| Constraint 2 | | | | | 7.4E-11 | | |
| Constraint 3 | | | | | | | 10.856 |
| | >=0 | | | >=0 | |
| Output results: | | | | | | | |
| | | | | | | | |
| Solution | 7И9ч | | | 1 37096» | 4 66129 | | |
Поиск решения
Установить целевую ячейку: $F$5 ]4J Равной: йжгимальному значению <~ значению о~
минимальному значению
Изменяя ячейки:
$В$12:$Е$12 Ограничения:
Предположить
$В$12:$Е$12 »= О $F$6 <= $Н$6 $F$7 = JH$7 $F$8 <= $н$е
Добавить
Изменить
Удалить
Вь ипшть ] Закрыть
Параметра
Восстановить
Справка
Рис. 21.6. Решение задачи стохастического программирования в Excel 2. Дана следующая задача стохастического программирования.
при ограничениях
Максимизировать z = х, + х\ + х3
Р{х2 + а2х\ + азл/х7 < 10} > 0,9,
хг, х2, х3 > 0.
Пусть параметры а2 и а3 - независимые нормально распределенные случайные величины с математическими ожиданиями 5 и 2 и дисперсиями 16 и 25 соответственно. Преобразуйте данную задачу в детерминированную задачу сепарабельного программирования.
21.2.5. Метод линейных комбинаций
Этот метод ориентирован на решение задач, в которых все ограничения являются линейными:
максимизировать z = f (X)
АХ<Ь,Х>0.