назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [ 268 ] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


268

Максимизация w эквивалентна максимизации функции lnw, переход к которой упрощает вычисления. Получим

lnw = 0,5(1 - 3y4){lnl0 - 1п(1 - Зу4)} + 0,5(1 - у4){1п4 - ln(l - у4)} + у4{1п5 - 1лу4 + lnl - 1пу4}.

Значение у4, максимизирующее функцию lnw, должно быть единственным, поскольку прямая задача имеет единственный минимум. Следовательно,

+ln 5-{1+1пу4}+1п 1-{1+1пу4} = 0. После упрощений получаем

Г(1-3,у4)?(1-у4)?

( 3

2х102

+ 1п

v )

Л/(1-Зу4)3(1-.у4)

= 12,6,

откуда у* =0,16 . Следовательно, у3=0,16, у2=0,42 и у,* = 0,26. Значение г* вычисляется по формуле

Следовательно,

, \0.26/ \0.42 / , ч0.16

:w=- u- Ш =9,66..

,0,26; I 0,42J I 0,16J

c/3 = 0,16x9,661 = l,546 = 5xi, Ut =0,16x9,661 = 1,546 = х2.

Отсюда имеем х =0,309 и хг =0,647 ,

УПРАЖНЕНИЯ 21.2.3

1. Решите следующую задачу методом геометрического программирования. Минимизировать z = 2xj xj + х\х~2 + 4х2 п ри х,, х2 > 0.

2. Решите следующую задачу методом геометрического программирования. Минимизировать z = 5х{х2х] + х,2х3~ + 10х2 + 2xj"x2x3"3 при xv х2, х3 > 0.

3. Решите следующую задачу методом геометрического программирования. Минимизировать z = 2х]х2 + 8х7гх2 + Зх,х2 при xlt х2 > 0.

4. Решите следующую задачу методом геометрического программирования. Минимизировать z = 2х]х~2 + \х\гх2 + х,х, при х,, х2 > 0.



21.2.4. Стохастическое программирование

В стохастическом программировании рассматриваются задачи, в которых отдельные или все параметры являются случайными величинами. Такие ситуации типичны в реальных задачах, когда трудно определить точные значения параметров.

Основной подход к решению задач стохастического программирования состоит в преобразовании исходной вероятностной задачи в эквивалентную детерминированную. В данном разделе рассматривается оптимизационная задача с вероятностными ограничениями, которая имеет следующий вид.

Максимизировать z = YJcjxj

при ограничениях

ХаЛ - - ~ai 1 = 1>2,.Xj>0 для всех j.

Название "вероятностные ограничения" обусловлено тем, что каждое ограничение задачи должно выполняться с вероятностью не меньшей, чем 1 - а,, О < at < 1. Предполагается, что все коэффициенты at. и Ь1 являются случайными величинами. Далее рассматриваются три варианта. Первые два соответствуют предположениям о том, что только или а,, или 6 являются случайными величинами, а третий объединяет эти два случая. Во всех трех ситуациях предполагается, что параметры являются нормально распределенными случайными величинами с известными математическими ожиданиями и дисперсиями.

Ситуация 1. Предполагается, что все ац являются нормально распределенными случайными величинами с математическими ожиданиями М{а(.} и дисперсиями D{a:j}. Также известны ковариации cov{aira.y} случайных величин а; и а...

Рассмотрим i-e ограничение задачи

и введем обозначение

hi=Yja,jxj.

Случайная величина Л. имеет нормальное распределение с математическим ожиданием M{hl} = j".=iM{aij}xj и дисперсией D{h} = XrD,X, где Х = (*,, х2, ...,хп)т,

I), = /-я матрица ковариации

Теперь имеем

D{an} cov{an,ahlY cov{a,„,aa} ••• D{all)

\h-M(k) h-M(h)\ Р{п,<ЬЛ = Р{ , <-,-i=4>l-a„



h-M(h)

где - - стандартная нормально распределенная случайная величина с ну-

левым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Это означает, что

P\h <!>,} = Ф

b,-M(h,)

где через Ф обозначена функция распределения стандартного нормального распределения.

Пусть Ка - значение стандартной нормально распределенной случайной величины, определяемое из уравнения

Ф(К„. ) = !-«,

В этом случае неравенство P{h. < b) > 1 - at выполняется тогда и только тогда, когда

b,-M{h,)

Это приводит к детерминированному нелинейному ограничению, которое эквивалентно исходному вероятностному

В частности, если ац - независимые нормально распределенные случайные величины, тогда cov{av,a = 0 , и последнее неравенство принимает вид

iM{a,}xl + Kj±D{av}x]%b,.

1-1 \ 1-1

Данное ограничение можно записать в виде ограничений задачи сепарабельного программирования (раздел 21.2.1), для чего используется замена переменных

> = /; К К2 лля всех •

Таким образом, исходное ограничение эквивалентно неравенству и уравнению

±о{ая}х]-у;=0.

Ситуация 2. Здесь предполагается, что только bt является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием М{Ь) и дисперсией D{b). Анализ этой ситуации проводится аналогично предыдущей. Рассмотрим стохастическое ограничение

P\bl>\ydailx]\>ar

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [ 268 ] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]