Максимизация w эквивалентна максимизации функции lnw, переход к которой упрощает вычисления. Получим
lnw = 0,5(1 - 3y4){lnl0 - 1п(1 - Зу4)} + 0,5(1 - у4){1п4 - ln(l - у4)} + у4{1п5 - 1лу4 + lnl - 1пу4}.
Значение у4, максимизирующее функцию lnw, должно быть единственным, поскольку прямая задача имеет единственный минимум. Следовательно,
+ln 5-{1+1пу4}+1п 1-{1+1пу4} = 0. После упрощений получаем
Г(1-3,у4)?(1-у4)?
Л/(1-Зу4)3(1-.у4)
= 12,6,
откуда у* =0,16 . Следовательно, у3=0,16, у2=0,42 и у,* = 0,26. Значение г* вычисляется по формуле
Следовательно,
, \0.26/ \0.42 / , ч0.16
:w=- u- Ш =9,66..
,0,26; I 0,42J I 0,16J
c/3 = 0,16x9,661 = l,546 = 5xi, Ut =0,16x9,661 = 1,546 = х2.
Отсюда имеем х =0,309 и хг =0,647 ,
УПРАЖНЕНИЯ 21.2.3
1. Решите следующую задачу методом геометрического программирования. Минимизировать z = 2xj xj + х\х~2 + 4х2 п ри х,, х2 > 0.
2. Решите следующую задачу методом геометрического программирования. Минимизировать z = 5х{х2х] + х,2х3~ + 10х2 + 2xj"x2x3"3 при xv х2, х3 > 0.
3. Решите следующую задачу методом геометрического программирования. Минимизировать z = 2х]х2 + 8х7гх2 + Зх,х2 при xlt х2 > 0.
4. Решите следующую задачу методом геометрического программирования. Минимизировать z = 2х]х~2 + \х\гх2 + х,х, при х,, х2 > 0.
21.2.4. Стохастическое программирование
В стохастическом программировании рассматриваются задачи, в которых отдельные или все параметры являются случайными величинами. Такие ситуации типичны в реальных задачах, когда трудно определить точные значения параметров.
Основной подход к решению задач стохастического программирования состоит в преобразовании исходной вероятностной задачи в эквивалентную детерминированную. В данном разделе рассматривается оптимизационная задача с вероятностными ограничениями, которая имеет следующий вид.
Максимизировать z = YJcjxj
при ограничениях
ХаЛ - - ~ai 1 = 1>2,.Xj>0 для всех j.
Название "вероятностные ограничения" обусловлено тем, что каждое ограничение задачи должно выполняться с вероятностью не меньшей, чем 1 - а,, О < at < 1. Предполагается, что все коэффициенты at. и Ь1 являются случайными величинами. Далее рассматриваются три варианта. Первые два соответствуют предположениям о том, что только или а,, или 6 являются случайными величинами, а третий объединяет эти два случая. Во всех трех ситуациях предполагается, что параметры являются нормально распределенными случайными величинами с известными математическими ожиданиями и дисперсиями.
Ситуация 1. Предполагается, что все ац являются нормально распределенными случайными величинами с математическими ожиданиями М{а(.} и дисперсиями D{a:j}. Также известны ковариации cov{aira.y} случайных величин а; и а...
Рассмотрим i-e ограничение задачи
и введем обозначение
hi=Yja,jxj.
Случайная величина Л. имеет нормальное распределение с математическим ожиданием M{hl} = j".=iM{aij}xj и дисперсией D{h} = XrD,X, где Х = (*,, х2, ...,хп)т,
I), = /-я матрица ковариации
Теперь имеем
D{an} cov{an,ahlY cov{a,„,aa} ••• D{all)
\h-M(k) h-M(h)\ Р{п,<ЬЛ = Р{ , <-,-i=4>l-a„
h-M(h)
где - - стандартная нормально распределенная случайная величина с ну-
левым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Это означает, что
P\h <!>,} = Ф
b,-M(h,)
где через Ф обозначена функция распределения стандартного нормального распределения.
Пусть Ка - значение стандартной нормально распределенной случайной величины, определяемое из уравнения
Ф(К„. ) = !-«,
В этом случае неравенство P{h. < b) > 1 - at выполняется тогда и только тогда, когда
b,-M{h,)
Это приводит к детерминированному нелинейному ограничению, которое эквивалентно исходному вероятностному
В частности, если ац - независимые нормально распределенные случайные величины, тогда cov{av,a = 0 , и последнее неравенство принимает вид
iM{a,}xl + Kj±D{av}x]%b,.
1-1 \ 1-1
Данное ограничение можно записать в виде ограничений задачи сепарабельного программирования (раздел 21.2.1), для чего используется замена переменных
> = /; К К2 лля всех •
Таким образом, исходное ограничение эквивалентно неравенству и уравнению
±о{ая}х]-у;=0.
Ситуация 2. Здесь предполагается, что только bt является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием М{Ь) и дисперсией D{b). Анализ этой ситуации проводится аналогично предыдущей. Рассмотрим стохастическое ограничение
P\bl>\ydailx]\>ar