Отсюда следует, что i-й строкой приведенной матрицы Гессе является вектор dVcf/dzt. Заметим, что W - функция от Y, a Y, в свою очередь, - функция от Z. Следовательно, при вычислении частной производной Vc/ по zt следует применять правило дифференцирования сложной функции, а именно
d\Vj d\Vj ду j
Пример 20.2.1
Рассмотрим следующую задачу.
/(X) = x,2+3x2+5x,x2,
g, (X) = х,х3 + 2х2 + xj -11 = о,
g2 (X) = л-,2 + 2xtx2 + х] -14 = 0.
Известна допустимая точка Х° = (1, 2, 3). Требуется оценить приращение функции/ (= 3J) в допустимой окрестности точки Х°.
Пусть Y = (хр х3) и Z = хг Имеем
vY/ =
v5x, &зУ
= (2х, +5л-32,10л-,л-3),
Vz/ = #- = 6x2> ох,
у2х{+2х2 2хъ)
Оценка приращения д/ в окрестности допустимой точки X =(1, 2, 3), вызванного малым изменением 8х2 = 0,01, получается следующим образом:
J-C =
Следовательно, приращение функции/с учетом ограничений равно
3J=(VZ/-VY/J-C)0Z =
6x2-(47,30)
2,83s
дх2 =-46,01&2.
Если указана величина изменения дхг независимой переменной х2, то допустимые значения дх1 и 8х3 зависимых переменных х, и х3 определяются по формуле
з\ = -rcaz.
При дх2 = 0,01 получаем
(сЬсЛ т. (-0,02831
= -J Сох, =
1, 0,0250)
Чтобы проверить точность полученной выше оценки для д/, можно вычислить значения функции/в точках Х° и Х° + ЭХ. Получаем
Х° + ЭХ = (1 - 0,0283, 2 + 0,01, 3 + 0,025) = (0,9717, 2,01, 3,025).
Отсюда следует, что
ДХ) = 58 иДХ° + дХ) = 57,523
Й/=ЛХ° + ЭХ) -ДХ°) = -0,477.
Полученный результат свидетельствует об уменьшении значения функции / по сравнению с вычисленным выше в соответствии с формулой для 8/. Это различие между двумя полученными результатами (-0,477 и -0,4601) является следствием линейной аппроксимации в окрестности точки Х°. Поэтому приведенная выше формула дает хорошие результаты лишь тогда, когда отклонения от точки Xе малы.
УПРАЖНЕНИЕ 20.2.1
1. Вернитесь к задаче из примера 20.2.1.
a) Вычислите величину 8J двумя способами, как это было проделано в примере, используя дх2 = 0,001 вместо дх2 = 0,01. Будет ли влияние линейной аппроксимации менее существенным при уменьшении величины Эдг2?
b) Установите зависимость между приращениями dxv дх2 и дх3 в допустимой точке Х° = (1,2,3) при условии, что точка (дг" + дх,,х2 +дх2,х° +8х}) также является допустимой.
c) Если Y= (х2, х3) и Z = дг,, то каким должно быть значение Эдс,, чтобы величина приращения dj была такая же, как в рассмотренном примере?
Пример 20.2.2
Данный пример иллюстрирует процедуру использования метода приведенного градиента. Рассмотрим задачу
минимизировать /(X) = х\ + х\ + х]
g,(X) = x,+x2 + 3x3-2 = 0) g2(X) = 5x, + 2x2+x3-5 = 0.
Определяем экстремальные точки целевой функции при наличии ограничений следующим образом. Пусть Y = (*,, х2) и Z = х3. Тогда
VY/ =
= (2лг„2х2), 4J = $- = 2xv
45 2,
J =
( 2 3 5 3
"з;
Следовательно,
Vc/ = ! = 2a-,-(2x„2x2)
дсх,
( 2 3 5 V 3
10 28 . ---х,--х2 + 2хъ.
В стационарной точке выполняется равенствоУ/= 0, которое вместе с ограничениями g,(X) = 0 и g2(X) = 0 определяет искомую стационарную точку (или точки). В данном случае система уравнений
v/=o,
£,(Х) = 0, &(Х) = О,
имеет решение Х°»(0,81, 0,35, 0,28).
Далее устанавливаем тип полученной стационарной точки путем проверки выполнения достаточных условий экстремума. Так как х3 - независимая переменная, из равенства У/= 0 следует, что
| | | | ( j~ \ ахг |
дсх] | " 3 | [dx,j | | [dxj |
+ 2 =
10 28
dx, dx2 Ч*зу
+ 2.
В соответствии с методом Якоби получаем
( dxA | | |
dx, dx2 | = -jC = | |
| | , 3, |
Теперь путем подстановки находим, что
d2J 460 д,х\ 9
> 0 . Следовательно, X - точка
минимума.