назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [ 252 ] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


252

Отсюда следует, что i-й строкой приведенной матрицы Гессе является вектор dVcf/dzt. Заметим, что W - функция от Y, a Y, в свою очередь, - функция от Z. Следовательно, при вычислении частной производной Vc/ по zt следует применять правило дифференцирования сложной функции, а именно

d\Vj d\Vj ду j

Пример 20.2.1

Рассмотрим следующую задачу.

/(X) = x,2+3x2+5x,x2,

g, (X) = х,х3 + 2х2 + xj -11 = о,

g2 (X) = л-,2 + 2xtx2 + х] -14 = 0.

Известна допустимая точка Х° = (1, 2, 3). Требуется оценить приращение функции/ (= 3J) в допустимой окрестности точки Х°.

Пусть Y = (хр х3) и Z = хг Имеем

vY/ =

v5x, &зУ

= (2х, +5л-32,10л-,л-3),

Vz/ = #- = 6x2> ох,

&3/

{dx2j

у2х{+2х2 2хъ)

Оценка приращения д/ в окрестности допустимой точки X =(1, 2, 3), вызванного малым изменением 8х2 = 0,01, получается следующим образом:

J-C =

6

, 12

( 2,83 4

"1-2,50,

Следовательно, приращение функции/с учетом ограничений равно

3J=(VZ/-VY/J-C)0Z =

6x2-(47,30)

2,83s

дх2 =-46,01&2.



Если указана величина изменения дхг независимой переменной х2, то допустимые значения дх1 и 8х3 зависимых переменных х, и х3 определяются по формуле

з\ = -rcaz.

При дх2 = 0,01 получаем

(сЬсЛ т. (-0,02831

= -J Сох, =

1, 0,0250)

Чтобы проверить точность полученной выше оценки для д/, можно вычислить значения функции/в точках Х° и Х° + ЭХ. Получаем

Х° + ЭХ = (1 - 0,0283, 2 + 0,01, 3 + 0,025) = (0,9717, 2,01, 3,025).

Отсюда следует, что

ДХ) = 58 иДХ° + дХ) = 57,523

Й/=ЛХ° + ЭХ) -ДХ°) = -0,477.

Полученный результат свидетельствует об уменьшении значения функции / по сравнению с вычисленным выше в соответствии с формулой для 8/. Это различие между двумя полученными результатами (-0,477 и -0,4601) является следствием линейной аппроксимации в окрестности точки Х°. Поэтому приведенная выше формула дает хорошие результаты лишь тогда, когда отклонения от точки Xе малы.

УПРАЖНЕНИЕ 20.2.1

1. Вернитесь к задаче из примера 20.2.1.

a) Вычислите величину 8J двумя способами, как это было проделано в примере, используя дх2 = 0,001 вместо дх2 = 0,01. Будет ли влияние линейной аппроксимации менее существенным при уменьшении величины Эдг2?

b) Установите зависимость между приращениями dxv дх2 и дх3 в допустимой точке Х° = (1,2,3) при условии, что точка (дг" + дх,,х2 +дх2,х° +8х}) также является допустимой.

c) Если Y= (х2, х3) и Z = дг,, то каким должно быть значение Эдс,, чтобы величина приращения dj была такая же, как в рассмотренном примере?

Пример 20.2.2

Данный пример иллюстрирует процедуру использования метода приведенного градиента. Рассмотрим задачу

минимизировать /(X) = х\ + х\ + х]

g,(X) = x,+x2 + 3x3-2 = 0) g2(X) = 5x, + 2x2+x3-5 = 0.



Определяем экстремальные точки целевой функции при наличии ограничений следующим образом. Пусть Y = (*,, х2) и Z = х3. Тогда

VY/ =

= (2лг„2х2), 4J = $- = 2xv

45 2,

J =

( 2 3 5 3

"з;

Следовательно,

Vc/ = ! = 2a-,-(2x„2x2)

дсх,

( 2 3 5 V 3

10 28 . ---х,--х2 + 2хъ.

В стационарной точке выполняется равенствоУ/= 0, которое вместе с ограничениями g,(X) = 0 и g2(X) = 0 определяет искомую стационарную точку (или точки). В данном случае система уравнений

v/=o,

£,(Х) = 0, &(Х) = О,

имеет решение Х°»(0,81, 0,35, 0,28).

Далее устанавливаем тип полученной стационарной точки путем проверки выполнения достаточных условий экстремума. Так как х3 - независимая переменная, из равенства У/= 0 следует, что

( j~ \ ахг

дсх]

" 3

[dx,j

[dxj

+ 2 =

10 28

dx, dx2 Ч*зу

+ 2.

В соответствии с методом Якоби получаем

( dxA

dx, dx2

= -jC =

, 3,

Теперь путем подстановки находим, что

d2J 460 д,х\ 9

> 0 . Следовательно, X - точка

минимума.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [ 252 ] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]