назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [ 249 ] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


249

где h - вектор, определенный выше. Для достаточно малых значений остаточный член yhrHh является величиной порядка А2 . Следовательно,

/(X0 + h)-/(X0) = V/(X0)h + O(A2) = V/(X0)h.

Пусть Х0 - точка минимума функции /(X). Докажем от противного, что градиент V/(X0) функции /(X) в точке минимума Х0 равен нулю. Пусть это условие не выполняется; тогда для некоторого j должно выполняться условие

Шй<0 или *Ш>й

дх} dXj

Знак Лу всегда можно выбрать таким образом, чтобы

Полагая остальные Л; равными нулю, из разложения Тейлора получаем неравенство

«X0 + h)</(X0).

Этот результат противоречит предположению, что Х0 - точка минимума. Следовательно, величина V/(X0) должна равняться нулю. Доказательство для точки максимума проводится аналогично.

Так как необходимое условие выполняется также в точках перегиба и седловых точках, точки, удовлетворяющие уравнению V/(X0) = 0, называют стационарными. Следующая теорема устанавливает достаточные условия того, что стационарная точка Х0 является экстремальной.

Теорема 20.1.2. Для того чтобы стационарная точка Х0 была экстремальной, достаточно, чтобы матрица Гессе Н в точке Х0 была

а) положительно определенной (тогда Х0 - точка минимума);

б) отрицательно определенной (тогда Х0 - точка максимума).

Доказательство. Согласно теореме Тейлора при 0 < в< 1 имеем

/(х0 + ь) - /(х.) = v/(x,)h +UTm .

Поскольку Х0 - стационарная точка, по теореме 20.1.1 V/(X0) = 0. Таким образом,

/(X0 + h)-/(X0) = ihrHh0b. Если Х0 - точка минимума, то

7-(X0 + h)>/(X0)

для всех ненулевых векторов h. Следовательно, в точке минимума Х0 должно выполняться неравенство

ihrHhXi.oh>0.

Непрерывность вторых частных производных функции /(X) гарантирует, что величина ihrHh имеет один и тот же знак как в точке Х0, так и X0+tfli. Так как hrHh представляет собой квадратичную форму (см. раздел А.3), ее значение (и, следова-



тельно, hrHh xoh) положительно тогда и только тогда, когда HXi -положительно определенная матрица. Это означает, что положительная определенность матрицы Гессе в стационарной точке Х0 является достаточным условием существования в этой точке минимума. Путем аналогичных рассуждений доказывается, что стационарная точка является точкой максимума, если матрица Гессе в этой точке отрицательно определена.

Пример 20.1.1

Рассмотрим функцию

/(х,,х2,х,) = .V, + 2хъ + лг,дг3 -х2 -х\ -х\. Необходимое условие экстремума Vfi\) = 0 здесь принимает следующий вид.

= 1-2*. =0,

- = х,-2хг =0, дх2

- = 2 + х2-2х,=0. ох,

Решением этой системы уравнений является точка Х0 = (1/2, 2/3, 4/3). Для проверки выполнения условия достаточности вычислим

д2/ }

дх1дх2

дх,дх}

/

&2йг.

дхгдхъ

ч Зх,ЗХ

ох,одг2

дх] /

-2 1 1 -2

Угловые миноры матрицы Н х равны -2, 4 и -6 соответственно. В этом случае Н Xi

является отрицательно определенной матрицей (см. раздел А.З), откуда следует, что точка Х0 = (1/2, 2/3, 4/3) является точкой максимума.

В общем случае, когда матрица Н х является неопределенной, точка Х0 должна быть седловой. Если же матрица Н х оказывается полуопределенной, то соответствующая точка Х0 может как быть, так и не быть экстремальной. При этом формулировка достаточного условия существования экстремума значительно усложняется, ибо для этого необходимо учитывать члены более высоких порядков в разложении Тейлора.

Применим достаточные условия, полученные в теореме 20.1.2, к функции одной переменной. Пусть у0 - стационарная точка функции тогда



1) неравенство f(y0)<0 является достаточным условием существования максимума в точке у0;

2) неравенство / (i/0) > 0 является достаточным условием существования минимума в точке у0.

Если же для функции одной переменной / (у0) = 0, то необходимо исследовать производные высших порядков в соответствии со следующей теоремой.

Теорема 20.1.3. Если в стационарной точке уй функции f(y) первые (п- 1) ее производных равны нулю и f "\у0) * 0, то в точке у = у0 функция f(y) имеет

1) точку перегиба, если п - нечетное;

2) точку максимума, если п - четное и fM(y0) < 0;

3) точку минимума, если п - четное и f in\y0) > 0.

Пример 20.1.3

Рассмотрим функцииДу) = у* п g(y) = у3. Для функцииду) =у4 имеем

/(у) -4/ = 0,

откуда получаем стационарную точкуу0 = 0. Далее находим

/(О) =/"(0) =/,3,(0) = 0. Так какfi4\0) = 24 > 0, тоу0 = 0 является точкой минимума (рис. 20.2). Для функции g(y) = у3 имеем

g(y)=3y2 = 0.

Следовательно, точка у0 = 0 является стационарной точкой. Поскольку g(0) =g (0) = 0, g<3)(0) = 6 и не обращается в нуль, точкау0 = 0 является точкой перегиба.

/О) /у4

g(y)jy3

0 У

Рис. 20.2. Стационарные точки функций i(y) = у и g(y) = у

УПРАЖНЕНИЯ 20.1.1

1. Найдите экстремальные точки следующих функций.

a) f(x) = х3 + х.

b) /(*) = х* + х2.

c) f(x) = 4х4 - х2 + 5.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [ 249 ] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]