где h - вектор, определенный выше. Для достаточно малых значений остаточный член yhrHh является величиной порядка А2 . Следовательно,
/(X0 + h)-/(X0) = V/(X0)h + O(A2) = V/(X0)h.
Пусть Х0 - точка минимума функции /(X). Докажем от противного, что градиент V/(X0) функции /(X) в точке минимума Х0 равен нулю. Пусть это условие не выполняется; тогда для некоторого j должно выполняться условие
Шй<0 или *Ш>й
дх} dXj
Знак Лу всегда можно выбрать таким образом, чтобы
Полагая остальные Л; равными нулю, из разложения Тейлора получаем неравенство
«X0 + h)</(X0).
Этот результат противоречит предположению, что Х0 - точка минимума. Следовательно, величина V/(X0) должна равняться нулю. Доказательство для точки максимума проводится аналогично.
Так как необходимое условие выполняется также в точках перегиба и седловых точках, точки, удовлетворяющие уравнению V/(X0) = 0, называют стационарными. Следующая теорема устанавливает достаточные условия того, что стационарная точка Х0 является экстремальной.
Теорема 20.1.2. Для того чтобы стационарная точка Х0 была экстремальной, достаточно, чтобы матрица Гессе Н в точке Х0 была
а) положительно определенной (тогда Х0 - точка минимума);
б) отрицательно определенной (тогда Х0 - точка максимума).
Доказательство. Согласно теореме Тейлора при 0 < в< 1 имеем
/(х0 + ь) - /(х.) = v/(x,)h +UTm .
Поскольку Х0 - стационарная точка, по теореме 20.1.1 V/(X0) = 0. Таким образом,
/(X0 + h)-/(X0) = ihrHh0b. Если Х0 - точка минимума, то
7-(X0 + h)>/(X0)
для всех ненулевых векторов h. Следовательно, в точке минимума Х0 должно выполняться неравенство
ihrHhXi.oh>0.
Непрерывность вторых частных производных функции /(X) гарантирует, что величина ihrHh имеет один и тот же знак как в точке Х0, так и X0+tfli. Так как hrHh представляет собой квадратичную форму (см. раздел А.3), ее значение (и, следова-
тельно, hrHh xoh) положительно тогда и только тогда, когда HXi -положительно определенная матрица. Это означает, что положительная определенность матрицы Гессе в стационарной точке Х0 является достаточным условием существования в этой точке минимума. Путем аналогичных рассуждений доказывается, что стационарная точка является точкой максимума, если матрица Гессе в этой точке отрицательно определена.
Пример 20.1.1
Рассмотрим функцию
/(х,,х2,х,) = .V, + 2хъ + лг,дг3 -х2 -х\ -х\. Необходимое условие экстремума Vfi\) = 0 здесь принимает следующий вид.
= 1-2*. =0,
- = х,-2хг =0, дх2
- = 2 + х2-2х,=0. ох,
Решением этой системы уравнений является точка Х0 = (1/2, 2/3, 4/3). Для проверки выполнения условия достаточности вычислим
| | д2/ } | |
| дх1дх2 | дх,дх} | / |
| | | |
&2йг. | | дхгдхъ | |
| | | |
ч Зх,ЗХ | ох,одг2 | дх] / | |
-2 1 1 -2
Угловые миноры матрицы Н х равны -2, 4 и -6 соответственно. В этом случае Н Xi
является отрицательно определенной матрицей (см. раздел А.З), откуда следует, что точка Х0 = (1/2, 2/3, 4/3) является точкой максимума.
В общем случае, когда матрица Н х является неопределенной, точка Х0 должна быть седловой. Если же матрица Н х оказывается полуопределенной, то соответствующая точка Х0 может как быть, так и не быть экстремальной. При этом формулировка достаточного условия существования экстремума значительно усложняется, ибо для этого необходимо учитывать члены более высоких порядков в разложении Тейлора.
Применим достаточные условия, полученные в теореме 20.1.2, к функции одной переменной. Пусть у0 - стационарная точка функции тогда
1) неравенство f(y0)<0 является достаточным условием существования максимума в точке у0;
2) неравенство / (i/0) > 0 является достаточным условием существования минимума в точке у0.
Если же для функции одной переменной / (у0) = 0, то необходимо исследовать производные высших порядков в соответствии со следующей теоремой.
Теорема 20.1.3. Если в стационарной точке уй функции f(y) первые (п- 1) ее производных равны нулю и f "\у0) * 0, то в точке у = у0 функция f(y) имеет
1) точку перегиба, если п - нечетное;
2) точку максимума, если п - четное и fM(y0) < 0;
3) точку минимума, если п - четное и f in\y0) > 0.
Пример 20.1.3
Рассмотрим функцииДу) = у* п g(y) = у3. Для функцииду) =у4 имеем
/(у) -4/ = 0,
откуда получаем стационарную точкуу0 = 0. Далее находим
/(О) =/"(0) =/,3,(0) = 0. Так какfi4\0) = 24 > 0, тоу0 = 0 является точкой минимума (рис. 20.2). Для функции g(y) = у3 имеем
g(y)=3y2 = 0.
Следовательно, точка у0 = 0 является стационарной точкой. Поскольку g(0) =g (0) = 0, g<3)(0) = 6 и не обращается в нуль, точкау0 = 0 является точкой перегиба.
/О) /у4
Рис. 20.2. Стационарные точки функций i(y) = у и g(y) = у
УПРАЖНЕНИЯ 20.1.1
1. Найдите экстремальные точки следующих функций.
a) f(x) = х3 + х.
b) /(*) = х* + х2.
c) f(x) = 4х4 - х2 + 5.