использование специального программного обеспечения значительно облегчает эту работу (см. раздел 18.7).

В разделе 18.5.1 было показано, что для имитации модели очереди с одним сервисом необходимы два основных элемента.

1. Список событий модели, упорядоченный в хронологическом порядке.

2. Диаграмма, с помощью которой отслеживаются изменения использования средств обслуживания и длины очереди.

Эти два элемента также остаются важными при имитации модели в электронной таблице (это же относится и к компьютерной имитации вообще). Различие состоит только в методах регистрации изменений в модели. Пусть, как и в разделе 18.5.1, клиенты обслуживаются в порядке их прибытия (дисциплина FIFO).

На рис. 18.9 показан шаблон рабочей книги Excel (файл chl8SingleServer-Simulator.xls). Входные данные позволяют представить время между поступлениями и время обслуживания одним из четырех способов: в виде константы или случайных чисел, имеющих экспоненциальное, равномерное или треугольное распределения. Треугольное распределение полезно, поскольку с его помощью можно приближенно представить любое другое распределение. Для этого введите три числа а, Ь и с, которые соответствуют наименьшему, наиболее вероятному и наибольшему значениям времени между поступлениями клиентов в систему или времени их обслуживания. Кроме того, необходимо ввести еще один параметр имитируемой модели - длительность имитации, которая в этой модели определяется количеством сгенерированных поступлений.

~Ё F G Hi J К L М N О JBB Simulation of a Single-Server Queueing Model

Simulation Calculations

Output Summary

14 Av. facility utilization = 15]Percent idleness (%) =

16 /laximum queue length:

17 «v queue length, Lq =

18 iAv nbr in system, Ls =

19 Av queue time. Wq = Й A« system time, Ws =

21 Sum(ServiceTime) -

22 Sum(Wq) =

23 Sum(Ws)=

0S2 7.92 3

1 13

2 05 1533 •?-! B7

250 75 306 63 557 38

Press F9 to

trigger a

new simulation run

Рис. 18.9. Результаты имитации модели с одним сервисом в Excel

В шаблоне каждому поступлению клиента в систему соответствует одна строка. Время между поступлениями и время обслуживания для каждого клиента генерируются на основе исходных данных. Предполагается, что первое поступление

происходит в момент времени Т = 0. Поскольку средство обслуживания в начале работы свободно, то первый клиент обслуживается сразу. Поэтому

(время ухода клиента 1) = (время прихода клиента 1) 4- (время обслуживания клиента 1) =

= 0+ 14,35 = 14,35,

(время прихода клиента 2) = (время прихода клиента 1) + (время между приходами клиентов) = = 0+ 15,15= 15,15.

Для определения времени ухода других клиентов i используется следующая формула:

(время ухода \(время прихода (время ухода j (время обслуживания

клиента; J Н клиента/ ) у клиента /-ljj v клиента/

Из формулы видно, что клиент не может быть обслужен, пока сервис не освободится. Итак, из формулы и рис. 18.9 видно, что

время ухода клиента 3 = тах{18,89, 26,41} + 14,86 = 41,25.

Теперь обратим внимание на то, как формируются статистические данные модели. Сначала заметим, что для клиента i время ожидания в очереди W (I) и время пребывания в системе Ws(i) вычисляется по таким формулам:

время ухода") (время прихода4] (время обслуживания клиента / J клиента / J клиента /

(время ухода4 время прихода клиента / ) у клиента / )

Может показаться, что для вычисления оставшихся статистических данных имитации модели необходимо отслеживать изменения в использовании сервиса и длины очереди, как это делалось в разделе 18.5.1. Но, применяя формулы, приведенные в конце раздела 18.5.1 (объяснение к которым дано на рис. 18.8), вычисления можно упростить, если использовать следующие соотношения.

1. Область под кривой использования сервиса = сумма времени обслуживания всех клиентов.

2. Область под кривой длины очереди = сумма времени ожидания всех клиентов.

Для использования этих соотношений вычисляется три суммы (ячейки Е21:Е23 на рис. 18.9):

сумма времени обслуживания = 248,66,

сумма значений W = 513,14,

сумма значений Wt = сумма значений Wq + сумма времени обслуживания = = 761,80 (= 248,66 + 513,14).

Поскольку последний клиент (клиент 20) ушел в момент времени Т = 252,64, следовательно

среднее время использования сервиса = 248,66/252,64 = 0,9842, средняя длина очереди = 513,14/252,64 = 2,03,

среднее время простоя сервиса, выраженное в процентах, вычисляется как

(1 - 0,9842) х 100 = 1,575 %. Остальные статистические данные вычисляются обычным образом.

Среднее время ожидания в очереди = сумма значений W/число клиентов =

= 513,14/20 = 25,66.

Среднее время пребывания в системе = сумма значений И/число клиентов =

= 761,81/20 = 38,09.

Максимальное количество клиентов, генерируемое шаблоном, не должно превышать 500.

Еще одна рабочая книга разработана для имитации моделей с несколькими сервисами (файл chl8MultiServerSimulator.xls). Вычисления в ней выполняются на той же теоретической основе, что и при использовании моделей с одним сервисом. Тем не менее определить время ухода клиентов в этой ситуации более сложно, для чего используются макросы VBA.

УПРАЖНЕНИЯ 18.5.2

1. Используя исходные данные из раздела 18.5.1, выполните в Excel имитацию 10 поступлений клиентов и постройте график изменения использования сервиса и длины очереди как функцию от времени имитации. Проверьте, что площади под соответствующими кривыми равны сумме времени обслуживания и сумме времени ожидания.

2. Имитируйте модель типа М/М/1 для 500 поступлений при условии, что интенсивность поступлений X равна 4 клиентам в час и интенсивность обслуживания ц составляет 6 клиентов в час. Повторите имитацию 5 раз (обновив значения на рабочем листе нажатием клавиши <F9>) и определите 95%-ные доверительные интервалы для всех полученных оценок показателей работы модели.

3. Комплектующие для телевизоров поступают по конвейеру каждые 11,5 мин. для проверки на испытательном стенде, обслуживаемом одним оператором. Детальная информация по работе испытательного стенда недоступна. Тем не менее, по оценке оператора, он тратит "в среднем" 9,5 мин. на проверку одной детали. В наихудшем случае время проверки не превышает 15 мин., а для некоторых комплектующих время проверки составляет менее 9 мин.

a) Используйте шаблон Excel для имитации проверки 200 комплектующих для телевизоров.

b) На основе 5 имитаций оцените среднее число комплектующих, ожидающих проверки, и среднее время использования испытательного стенда.

18.6. МЕТОДЫ СБОРА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Имитационное моделирование представляет собой статистический эксперимент. Его результаты должны основываться на соответствующих статистических проверках (с использованием, например, доверительных интервалов и методов проверки гипотез). Для выполнения этой задачи получаемые наблюдения и имитационный эксперимент должны удовлетворять следующим трем требованиям.

1. Наблюдения имеют стационарные распределения, т.е. распределения не изменяются во время проведения эксперимента.

2. Наблюдения подчиняются нормальному распределению.

3. Наблюдения независимы.