назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [ 231 ] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


231

Бокс и Мюллер (Box and Muller) [1] доказали, что случайная величина х является стандартной нормально распределенной случайной величиной, т.е. имеет распределение N(0, 1). Следовательно, у = + ах дает значение, подчиняющееся нормальному распределению N(p, а). Эта процедура является более эффективной, так как требует генерирования всего двух случайных чисел из интервала [0, 1].

В действительности данный метод (метод Бокса-Мюллера) является еще более эффективным, так как Бокс и Мюллер доказали, что предыдущая формула дает другое значение, также имеющее нормальное распределение N(0, 1), если cos(2/rf?2) заменить на sin(2/?2). Это значит, что два случайных числа Р.г и R2 из интервала [0,1] можно использовать для одновременного получения двух значений, соответствующих нормальному распределению/V(0, I).3

В качестве иллюстрации применим метод Бокса-Мюллера для нахождения значений, подчиняющихся нормальному распределению N(10, 2). Два первых случайных числа первого столбца табл. 18.1 приводят к следующим значениям, подчиняющимся нормальному распределению N(0, 1):

Следовательно, соответствующие значения, имеющие нормальное распределение N(10, 2), равны

УПРАЖНЕНИЯ 18.3.34

1. В задаче примера 18.3.3 вычислите случайное значение, соответствующее распределению Эрланга при т = 4 и X = 5.

2. В задаче примера 18.3.4 сгенерируйте три случайных значения, соответствующих распределению Пуассона для одночасового периода при математическом ожидании 5 событий в час.

3. В задаче примера 18.3.5 сгенерируйте два случайных значения, соответствующих нормальному распределению N(8, 1), используя как метод сверток, так и метод Бокса-Мюллера.

4. Работы поступают в металлообрабатывающий цех в соответствии с распределением Пуассона с математическим ожиданием шесть работ в день. Цех имеет пять обрабатывающих центров, на которые контролер направляет полученные работы строго по очереди. Определите одно случайное значение интервала между получением работ на первом обрабатывающем центре.

5. Проведен стандартный тест ACT среди выпускников одного класса средней школы небольшого городка. Результаты теста являются нормально распре-

Интересно отметить, что две случайные величины, получаемые в методе Бокса-Мюллера по схожим формулам, причем зависимые от одних и тех же равномерно распределенных случайных величин, независимы между собой. - Прим. ред.

4 Для всех приведенных здесь задач используйте случайные числа из табл. 18.1, начиная с первого столбца.

у, = 10 + 2(-1,103) = 7,794, у2= 10 + 2(-2,108) = 5,782.



деленной случайной величиной с математическим ожиданием 27 баллов и стандартным отклонением 3 балла. Используя метод Бокса-Мюллера, получите случайные значения показателей шести выпускников этого класса.

6. Профессор психологии Ятаха проводит обучающий эксперимент, в котором мыши приучаются находить путь внутри лабиринта. Основой лабиринта является квадрат. Мышь впускают в лабиринт через один из четырех его углов, и она должна найти путь через лабиринт таким образом, чтобы выйти из него через этот же угол. Конструкция лабиринта такова, что до своего выхода из лабиринта мышь должна пройти через оставшиеся три угла в точности по одному разу. Многовариантные пути лабиринта соединяют четыре его вершины строго в направлении вращения часовой стрелки. Профессор считает, что время, которое мышь тратит для перехода от одной вершины лабиринта до другой, является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале от 10 до 20 секунд. Опишите процедуру получения случайного значения для времени пребывания мыши в лабиринте.

7. Пусть в ситуации, описанной в предыдущем упражнении, как только одна мышь покидает лабиринт, другая в тот же миг входит в него. Опишите процедуру получения случайного значения для количества мышей, которые пройдут лабиринт на протяжении 5 мин.

8. Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля). Покажите, как можно вычислить случайное значение, имеющее отрицательное биномиальное распределение, плотность вероятности которого имеет вид

/(х) = [У + Хх~1у{1-р)\ х = 0,1,2,...,

где х - число неудач в последовательности независимых испытаний Бернулли до получения у-го успеха, р - вероятность успеха, 0 <р < 1. (Подсказка. Случайная величина, имеющая отрицательное биномиальное распределение, является сверткой (суммой) независимых случайных величин, подчиняющихся геометрическому распределению. См. также упражнение 18.3.2.9.)

Метод отбора.5 Данный метод разработан для получения значений случайных величин со сложными функциями плотностей вероятностей, к которым нельзя применить изложенные выше методы. Общая идея данного метода сводится к замене сложной плотности вероятности f(x) более удобной с аналитической точки зрения плотностью вероятности h(x). Затем значения, соответствующие плотности h(x), используются для получения значений, соответствующих исходной плотности f(x).

Для плотности вероятности f(x) определяем такую мажорирующую функцию g(x), что

g(x) > f(X), -оо < X < оо.

Теперь определим плотность вероятности h(x) путем нормализации функции g(x):

h(x) = -сю<х<сю.

\g{y)dy

В русскоязычной математической литературе этот метод иногда также называют методом отказов, что больше соответствует английскому названию acceptance-rejection method. - Прим. ред.



В методе отбора последовательно выполняются следующие действия.

Этап 1. С помощью метода обратной функции или метода свертки получаем случайное значение х = х,, соответствующее плотности вероятности h(x).

Этап 2. Генерируем случайное число R из интервала [0,1].

ЭтапЗ. Если R<f(x/g(xx), следует принять х1 как искомое значение, соответствующее распределению f(x). Иначе необходимо вернуться к этапу 1, отбросив значение хг

Обоснованность этого метода вытекает из следующего равенства:

P{x<a\x = xt принимается, -оо<х,<оо} = jf(y)dy, -оо<а<оо.

Это вероятностное соотношение означает, что значение х = xv удовлетворяющее условию этапа 3, в действительности является значением, соответствующим исходной плотности вероятности f(x), что и требуется.

Эффективность предложенного метода можно повысить, уменьшив вероятность отклонения значения х, на этапе 3. Эта вероятность зависит от выбранной функции g(x) и должна уменьшаться с выбором такой функции g(x), которая более "точно" мажорирует функцию f(x).

Пример 18.3.6. Бета-распределение

Используем метод отбора, чтобы найти значение, соответствующее бета-распределению, плотность вероятности которого задается формулой

fix) = 6х(1 - х), 0< х<1.

На рис. 18.6 изображены функция*) и мажорирующая ее функция g(x).

Рис. 18.6. Иллюстрация к методу отбора

Высота мажорирующей функции g(x) равна максимальному значению функции J[x), которого она достигает в точке* = 0,5. Это значит, что#(х) = 1,5, 0 <х < 1.

Функция плотности "замещающего" распределения h{x), также представленная на рис. 18.6, вычисляется согласно соотношению

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [ 231 ] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]