назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [ 230 ] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


230

оказаться полезным описание распределения случайной переменной путем оценки ее наименьшего, наиболее вероятного и наибольшего значений. Этих трех величин достаточно для вычисления треугольного распределения, которое можно использовать в качестве "черновой" оценки истинного распределения.

а) Разработайте формулу для получения случайных значений, соответствующих треугольному распределению, параметрами которого являются константы а, Ьис,а<Ь<с,и плотность вероятности которого задается формулой

/(*) =

2(х-

(Ь-а)(с-а) 2(с-х)

(с-Ь){с-аУ

а<х<Ь, Ь<х<с.

Ь) Получите три значения, соответствующие треугольному распределению с параметрами (1, 3, 7), используя для этого три первых случайных числа первого столбца табл. 18.1.

8. Разработайте процедуру получения случайных значений, подчиняющихся распределению, плотность вероятности которого состоит из прямоугольника, граничащего слева и справа с двумя прямоугольными треугольниками (вертикальными катетами этих треугольников являются стороны прямоугольника). Соответствующие основания левого треугольника, прямоугольника и треугольника справа равны [а, Ь], [Ь, с] и [с, d], а < b < с < d. Каждый треугольник имеет высоту, равную высоте прямоугольника.

Определите пять случайных значений, которые соответствуют описанному выше распределению с набором параметров (а, Ь, с, d) = (1, 2, 4, 6), используя при этом пять первых случайных чисел из первого столбца табл. 18.1.

9. Геометрическое распределение. Покажите, как можно получить случайное значение, подчиняющееся геометрическому распределению

f(x)=p(l-p), х-0, 1,2,...,

где х - число неудач в схеме Бернулли до первого появления успеха, р - вероятность успеха, 0 <р < 1. Сгенерируйте пять случайных значений прир = 0,6.

10. Распределение Вейбулла.1 Покажите, как можно получить случайное значение, подчиняющееся распределению Вейбулла, плотность вероятности которого имеет вид

f(x) = ap-axa-le Ы , х>0, где а> 0 - параметр формы, /?> 0 - параметр масштаба.

Метод сверток. Основная идея данного метода состоит в том, чтобы выразить искомую случайную величину в виде суммы других случайных величин, для которых легко получить реализации случайных значений2. Типичными среди таких распределений являются распределения Эрланга и Пуассона, которые можно получить из экспоненциального распределения.

1 В русской математической литературе это распределение также имеет название "распределение Вейбулла-Гнеденко". - Прим. ред.

2 Функцию распределения суммы случайных величин можно выразить через функции распределения слагаемых в виде так называемого интеграла свертки, а операцию суммирования случайных величин иногда называют операцией свертки. Отсюда идет название метода. - Прим. ред.



Пример 18.3.3. Распределение Эрланга

Случайная величина, имеющая распределение Эрланга с параметром т (т - целое число), определяется как сумма (свертка) т независимых случайных величин, каждая из которых имеет экспоненциальное распределение с параметром Л. Пусть у - случайная величина, подчиняющаяся распределению Эрланга с параметром т. Тогда

У = У1+У2+ - +Ут,

где у,- (/ = 1, 2, т) - независимые экспоненциально распределенные случайные величины, плотность вероятности которых задается формулой

/(у,) = \ у, >0, 1 = 1,2, ...,т.

Как следует из примера 18.3.2, случайное значение, имеющее (/-е) экспоненциальное распределение, вычисляется по формуле

y,.=-Q-jln(/?,), / = 1,2, ....т.

Следовательно, значение случайной величины Эрланга с параметром т можно вычислить как

y = -j[ln(/?1) + ln(/?2) + ... + ln(/?,„)] = -jln(/?1/?2.../?,„).

В качестве иллюстрации применения этой формулы предположим, что т = 3 и Л = 4 события в час. Первые три случайных числа из первого столбца табл. 18.1 дают такой результат: RiR2R3 = 0,0589 х 0,6733 х 0,4799 = 0,0190, что в свою очередь приводит к значениюу = -(1/4)1п(0,019) = 0,991 часа.

Пример 18.3.4. Распределение Пуассона

Если время между некоторыми событиями представляет собой случайную величину, распределенную по экспоненциальному закону, то распределение числа событий, происходящих в единицу времени, будет пуассоновским, и наоборот. Этот факт используется для получения случайных значений, подчиняющихся распределению Пуассона.

Пусть для рассматриваемого распределения Пуассона среднее количество событий в единицу времени равно Л. Тогда время между событиями является случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение со средним, равным 1/Л единиц времени. Это означает, что на протяжении t единиц времени будет иметь место п событий (число п подчиняется распределению Пуассона) тогда и только тогда, когда

время до реализации события п < t < время до реализации события л + 1.

Это условие можно записать следующим образом:

г, + t2 + ... + tn < t< г, + h + ... + tn+i, n > 0,

0<t<tvn = 0,

где ti - случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению со средним 1/Л. Принимая во внимание результат примера 18.3.3, имеем

-fl]ln(/?,/?2.../?„)< /<-fi]ln(/?,/c2.../c„+,), п>0,



0</<~

я = 0.

Отсюда получаем

Л1Лг...Л„>е"1>Л1Л2...Л,

п>0,

1>>Л,, /1 = 0.

Проиллюстрируем описанный подход на следующем примере. Пусть необходимо получить случайное значение, соответствующее распределению Пуассона со средней частотой Я=4 события в час, при f = 0,5 часа. Это нам дает ем = 0,1353. Используя случайные числа первого столбца табл.18 1, замечаем, что Л, = 0,0589 меньше ем = 0,1353. Следовательно, /1 = 0.

Пример 18.3.5. Нормальное распределение

Центральная предельная теорема (см. раздел 12.4.4) утверждает, что сумма я одинаково распределенных случайных величин стремится к нормально распределенной величине при бесконечном увеличении п. Мы используем этот результат для получения значений, соответствующих нормальному распределению с математическим ожиданием ju и стандартным отклонением а.

Обозначим х = Л, + Д2 + ... + Д„, где Л1? Л2, Л„ - случайные числа, равномерно распределенные в интервале [0, 1]. В соответствии с центральной предельной теоремой случайная величина х является асимптотически нормальной величиной со средним л/2 и дисперсией я/12. Следовательно, случайная величина у, подчиняющаяся нормальному распределению N(ju, d) с математическим ожиданием ju и стандартным отклонением а, может быть получена из случайной величины х по формуле

Для удобства в практических задачах я обычно выбирается равным 12, что приводит предыдущую формулу к видуу = р+о\х-6).

Для демонстрации этого метода предположим, что необходимо получить случайное значение, соответствующее нормальному распределению N(10, 2) (математическое ожидание ц = 10 и стандартное отклонение а= 2). Вычисляя сумму первых 12 случайных чисел из первого и второго столбцов табл. 18.1, получаем х = 6,1094. Следовательно, у = 10 + 2(6,1094 - 6) = 10,2188.

Неудобство этой процедуры состоит в том, что необходимо генерировать 12 случайных чисел из интервала [0,1] для получения одного выборочного значения, соответствующего рассматриваемому нормальному распределению, что делает ее малоэффективной с вычислительной точки зрения. В соответствии с более эффективной процедурой решения этой же задачи необходимо использовать преобразование

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [ 230 ] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]