назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [ 229 ] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


229

более "длинной" линии перемещается на последнюю позицию "короткой" линии. В этом режиме банк работает с 8:00 до 15:00 каждый рабочий день. Определите дискретные события для описанной ситуации.

4. Кафетерий начальной школы обеспечивает всех своих учеников завтраком, который помещается на одном подносе. Дети подходят к раздаточному окну каждые 30 секунд. Для получения подноса с завтраком необходимо 18 секунд. Нанесите на временную шкалу события прибытия-ухода для первых пяти учеников.

18.3.2. Генерирование выборочных значений

Случайность в имитационных моделях возникает тогда, когда интервал времени t между последовательными событиями является случайным. В этом разделе рассматриваются следующие методы получения последовательных случайных значений t = f,, t2, имеющих заданное распределение вероятности f(x).

1. Метод обратных функций.

2. Метод сверток.

3. Метод отбора.

Метод обратных функций дает хорошие результаты для непрерывных распределений, функция распределения которых имеет аналитическое представление, например, как при экспоненциальном или равномерном распределении. Другие два метода более универсальны и используются в таких сложных ситуациях, как, например, генерирование случайных чисел, имеющих нормальное распределение или распределение Пуассона. Все три метода основаны на использовании независимых одинаково распределенных случайных чисел, имеющих равномерное распределение на интервале [0, 1].

Метод обратных функций. Пусть необходимо получить значение х случайной величины у, имеющей непрерывную или дискретную плотность вероятности f(x). Согласно методу обратных функций сначала находится функция распределения F(x) = = Р{у < х}, где 0 < F(x) < 1 для всех значений х. Пусть R - случайное число, полученное из равномерного на интервале [0, 1] распределения, и пусть F1 - функция, обратная к функции F. Метод обратных функций требует выполнения следующих действий.

Этап 1. Генерируется случайное число R из интервала [0, 1]. Этап 2. Вычисляется искомое случайное число х = F \R).

На рис. 18.5 проиллюстрирована описанная процедура для непрерывного и дискретного распределений. Равномерно распределенная случайная величина из интервала [0, 1] проектируется с вертикальной оси F(x) на горизонтальную, определяя при этом искомое значение хх.

Корректность предложенной процедуры основана на том, что случайная переменная г = F(x) является равномерно распределенной на интервале 0 < z < 1, что доказывается в следующей теореме.

Теорема 18.3.1. Для заданной функции распределения F(x) случайной величиных, -о° <#<<*>, случайная величина z = F(x), 0<z<l, имеет плотность вероятности

Д2)=1,0<2<1,

т.е. является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале [0,1].



О jfj х О"

a) jc непрерывно б) х дискретно

Рис. 18.5. Получение случайных чисел методом обратных функций

Доказательство. Случайная величина г является равномерно распределенной на интервале [0, 1] тогда и только тогда, когда

P{z<Z}=Z, 0<Z<1.

Это соотношение непосредственно следует из таких равенств:

Р{г < Z} = P{F(x) <,Z}= Р{х < F\Z)} = F(F\Z)) = Z .

При этом 0 < Z < 1, так как 0 < P{z<Z} < 1.

Пример 18.3.2. Экспоненциальное распределение

Предположим, что время t между прибытиями клиентов в парикмахерскую распределено по экспоненциальному закону с математическим ожиданием M{t) = 1/А единиц времени, т.е. плотность вероятности задается формулой

f{t) = Xe-\ t>0.

Найдем случайное значение времени t.

Функция распределения вычисляется стандартным образом:

F(t)= jXe-kj,dx = l-e~k, t>0. о

Если Р. - случайное число из интервала [0, 1], то, если R -= F(t), получим

, = -(1)п(1-*).

Так как R - случайное число из интервала [0,1], то и (1 - R) представляет собой случайное число из того же интервала, поэтому можно заменить (1 - R) на Л.

Пусть в имитационной модели события происходят через t единиц времени. Тогда, например, при А = 4 посетителя в час и R = 0,9 интервал времени между прибытиями посетителей вычисляется как

г, = -jjjln(l -0,9) = 0,577 ч = 34,5 мин.

Значения Л, используемые для получения последовательных случайных чисел, должны выбираться случайным образом из интервала [0, 1], подчиняясь равномерному закону распределения. В разделе 18.4 мы покажем, как генерируются такие случайные числа.



УПРАЖНЕНИЯ 18.3.2

1. Пусть в модели из примера 18.3.2 первый клиент поступает в начальный момент времени 0. Используя первые три случайных числа первого столбца табл. 18.1, сгенерируйте время прибытия следующих трех клиентов и нанесите полученные события на временную шкалу.

2. Равномерное распределение. Пусть время, необходимое для обработки детали на станке, равномерно распределено на интервале [a, b], а<Ь, т.е.

/(/) = -!-, a<t<b. о -а

Найдите выражение для вычисления случайного числа t при заданном значении случайного числа R.

3. В небольшой цех с одним станком заказы поступают случайным образом. Время между поступлениями заказов распределено по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 2 часа. Время, необходимое для выполнения заказа, является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале [1,1, 2], измеряемом в часах. Пусть первый заказ поступает в момент времени, равный нулю. Определите время поступления и выполнения первых пяти заказов, используя случайные числа из интервала [0, 1], помещенные в первом столбце табл. 18.1.

4. Запрос на дорогую запасную деталь для пассажирского самолета равен 0, 1, 2 или 3 единицы в день с вероятностями 0,2, 0,3, 0,4 и 0,1 соответственно. Цех технического обеспечения полетов имеет на складе 5 упомянутых деталей и немедленно восстановит запас до этого же уровня, если их останется на складе меньше двух единиц.

a) Разработайте процедуру получения случайных значений величины запроса.

b) Сколько дней пройдет до первого пополнения запаса деталей? Используйте последовательные значения случайных чисел R из первого столбца табл. 18.1.

5. В имитационной модели телевизионные блоки проверяются на наличие дефектов. В 80 % случаев блок успешно проходит проверку и упаковывается, иначе он ремонтируется. Символически эту ситуацию можно представить одним из двух способов.

Выполнить ремонт с вероятностью 0,2, упаковать с вероятностью 0,8.

Упаковать с вероятностью 0,8, выполнить ремонт с вероятностью 0,2.

Эти два способа кажутся эквивалентными. Однако при моделировании этой ситуации с помощью одной и той же заданной последовательности случайных чисел из интервала [0, 1] эти представления могут дать различные результаты (в виде "выполнить ремонт" или "упаковать"). Объясните, почему.

6. Игрок подбрасывает симметричную монету до тех пор, пока не появится ее лицевая сторона (герб). Результирующая выплата равна 2", где п - число подбрасываний до появления лицевой стороны монеты.

a) Разработайте имитационную модель игры.

b) Используйте случайные числа из первого столбца табл. 18.1, чтобы определить накопленное значение выплаты после того, как лицевая сторона монеты появится два раза.

7. Треугольное распределение. В имитационном моделировании при недостатке данных часто невозможно определить вероятностное распределение, соответствующее моделируемым ситуациям. Во многих таких случаях может

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [ 229 ] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]