назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [ 227 ] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


227

ГТ в

Monte Carlo Estimation of the Area of a Circle

2 Input data

3 Nbr Replications, N =

4 Sample size, n =

30.00*1

Steps =

5 Radius. r =

6 Center, cx =

7 Center, cy =

Output results

9 i Exact area =

78 51,0

U Piess to Execute Monte Lailo

11 Monte Carlo Calculations

n=30000

n=60000 n=

90000

13 Replication 1

78.207

78 555

78 483

14 Replication 2

78.673

78 752

78 581

15 i Replication 3

78.300

78.288

78.281

16 Replication 4

78.503

78.347

78.343

17 Replication 5 18

78 983

78.775

78 760

19iMean =

78.533

78.543

78.490

20 3td Deviation =

0.308

0.225

0 191

22 J95% lower conf limit =

76 151

78.263

78.253

23 j95% upper conf. limit =

78.915*

76.823

78.727

Рис. 18.2. Вычисление e Excel оценки площади круга методом Монте-Карло

На рис. 18.2 показаны оценки площади круга для объема выборки 30 ООО, количества выборок 5 и числа имитаций 3. Точная площадь круга равна 78,54 см2, методом Монте-Карло получили оценки от А = 78,533 до А = 78,490 см2. Отметим, что стандартное отклонение изменяется от значения s = 0,308 при п = 30 ООО до s = 0,191 при п = 90 ООО. Это говорит о том, что точность оценки повышается при увеличении объема выборки.

Если в шаблоне щелкнуть на командной кнопке Press to Execute Monte Carlo (Выполнить метод Монте-Карло), то будут получены новые оценки путем повторных вычислений с новой последовательностью случайных чисел.

Ввиду того, что оценки площади имеют разброс, важно, чтобы результаты эксперимента, связанного с моделированием, были выражены в виде доверительных интервалов, показывающих величину отклонения от точного значения. В рассматриваемом примере, если А представляет собой точное значение площади, а А и s" - среднее и дисперсию при числе экспериментов N, то 100(1 -а)%-ный доверительный интервал для А задается в виде

А " VFa/2-"- ~А~А+7NlaJ2-N-1

где ta/2 w , - (100а/2)% -ная точка /-распределения (распределения Стьюдента) с N- 1

степенями свободы (см. приложение В). Заметим, что N обозначает число экспериментов (прогонов), и его следует отличать от п, которое обозначает объем выборки ("продолжительность" прогона модели). В рассматриваемом примере мы заинтересованы в установлении доверительного интервала, полученного для выборки наибольшего объема (т.е. и = 90 ООО). При N=5, А = 78,490 см2, s = 0,191 см2 и = 2,776 результирующим 95% -ным доверительным интервалом является 78,25 < А < 78,73.



Рассмотренный пример ставит два вопроса, характерных для любого эксперимента, связанного с моделированием.

1. Каким должен быть объем выборки п для достижения необходимого значения доверительных интервалов?

2. Сколько для этого требуется прогонов TV?

Ответы зависят от природы эксперимента, связанного с моделированием. Как и в любом статистическом эксперименте, большие значения п и TV обеспечивают более надежные результаты. Препятствием может быть стоимость проведения эксперимента, которая возрастает пропорционально увеличению п и TV.

УПРАЖНЕНИЯ 18.1

1. В условиях примера 18.1.1 вычислите площадь круга, используя из табл. 18.1 два первых столбца в качестве источника случайных чисел из интервала [0, 1]. (Для удобства выбирайте Д, из первого столбца, a Д2 - из второго, двигаясь при этом сверху вниз.) Сравните полученный результат с результатами вычислений в Excel, показанными на рис. 18.2.

2. Пусть уравнение окружности имеет вид (х - З)2 + (у + 2)2 = 16.

a) Найдите соответствующие плотности вероятностей f(x) и /((/). Покажите, как с помощью пары случайных чисел (Д,, Д2) из интервала [0, 1] можно получить выборочную точку (х, у).

b) С помощью шаблона Excel chl8Circle.xls оцените площадь круга при п= 100 000 и TV= 10. Постройте 95%-ный доверительный интервал для оценки площади круга.

3. Примените метод Монте-Карло для вычисления площади озера, показанного на рис. 18.3. Для получения значений случайных чисел из интервала [0, 1] используйте два первых столбца табл. 18.1.

§ 2 S

О 1 2 3 4 5 6 1 Мили

Рис. 18.3. План озера для упражнения 3

4. Рассмотрим игру, в которой два игрока А и Б поочередно подбрасывают правильную (симметричную) монету. Если выпадает лицевая сторона монеты, игрок А получает 10 долл. от игрока Б, иначе игрок Б выигрывает у игрока А10 долл.

a) Как смоделировать эту игру в виде эксперимента Монте-Карло?

b) Проведите эксперимент в 5 прогонов с 10 подбрасываниями монеты в каждом прогоне. Используйте пять первых столбцов табл. 18.1 для получения значений случайных чисел из интервала [0, 1], при этом каждый столбец будет соответствовать одному прогону.



c) Вычислите 95% -ный доверительный интервал для выигрышей игрока А.

d) Сравните доверительный интервал, полученный в предыдущем пункте, с ожидаемым теоретическим выигрышем игрока А.

a) Оцените значение этого интеграла с помощью метода Монте-Карло.

b) Используйте четыре первых столбца табл. 18.1 для получения оценки значения интеграла, основанной на 4 прогонах объемом 10 каждый. Вычислите 95%-ный доверительный интервал и сравните его с точным значением интеграла.

6. Смоделируйте ситуацию с пятью выигрышами или проигрышами в следующей игре в кости. Игрок бросает две симметричные игральные кости. Если выпавшая сумма равна 7 или 11, игрок выигрывает 10 долл. Иначе он запоминает выпавшую сумму (называемую очком) и продолжает бросать кости до тех пор, пока выпавшая сумма не совпадет с очком, после чего игрок получает 10 долл. Но если выпавшая сумма равна 7, игрок проигрывает 10 долл.

7. Цикл исполнения заказа на некую продукцию с равной вероятностью составляет 1 или 2 дня. Предполагается, что ежедневный спрос равен 0, 1 и 2 единицы этой продукции с вероятностями 0,2, 0,5 и 0,3 соответственно. Используйте значения случайных чисел из табл. 18.1 (начиная с первого столбца) для оценки совместного распределения спроса и цикла исполнения заказа. Исходя из полученного совместного распределения, оцените плотность вероятности спроса в течение цикла исполнения заказа. (Подсказка. Спрос во время исполнения заказа может принимать значения 0, 1, 2, 3 и 4.)

8. Рассмотрим эксперимент Бюффона с иглой. Горизонтальная плоскость разделена параллельными прямыми, расположенными на расстоянии D см одна от другой. Игла длиной d см (d < D) случайным образом бросается на плоскость. Необходимо найти вероятность того, что игла коснется или пересечет одну из прямых. Введем следующие обозначения.

b) Составьте план эксперимента Монте-Карло, обеспечивающий определение оценки искомой вероятности.

c) Используйте первые четыре столбца табл. 18.1 для поиска оценки искомой вероятности, основанной на 4 прогонах объемом 10 каждый. Вычислите 95% -ный доверительный интервал для оценки.

d) Покажите, что вероятность интересующего нас события равна

Используйте эту формулу вместе с результатом, полученным при решении задачи из п. с), для оценки значения числа к.

5. Рассмотрим определенный интеграл \x2dx.

h - расстояние от центра иглы до ближайшей прямой, в- угол, составленный иглой с этой прямой, а) Покажите, что игла коснется или пересечет прямую, если

л< -sinе, o<h<-, о<е<л.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [ 227 ] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]