назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [ 221 ] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


221

с) Если рабочая бригада за день сможет выполнить работы на 150 кв. единицах площади крыш, как это повлияет на среднее время ожидания завершения установки крыши?

4. Фирма Оптика изготавливает очки в соответствии с рецептами, которые получает от своих клиентов. Каждый рабочий специализируется на изготовлении определенных типов очков. Фирма испытывает некоторые затруднения с изготовлением бифокальных и трифокальных типов очков. Рабочие получают 30 заказов на восьмичасовой рабочий день. Время изготовления очков по рецепту нормально распределено с математическим ожиданием 12 мин. и стандартным отклонением 3 мин. Затем рабочий проверяет очки, затрачивая на это от 2 до 4 мин. С равномерным распределением соответствующего времени, после чего может приступить к выполнению нового заказа. Определите следующие показатели.

a) Процент времени простоя рабочего.

b) Среднее количество невыполненных заказов на изготовление бифокальных и трифокальных типов очков.

c) Среднее время выполнения заказа.

5. Изделие поступает на обработку в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью одно изделие в единицу времени. Обработка изделия требует выполнения двух последовательных операций, за которыми следит один рабочий. Для выполнения первой операции используется полуавтоматический станок, который выполняет свои операции точно за 28 мин. На второй операции осуществляются незначительные изменения и регулировка, и время ее выполнения зависит от качества изделия после первой операции. Время выполнения второй операции равномерно распределено на интервале от 3 до 6 мин. Так как выполнение каждой операции требует полного внимания рабочего, нельзя начать обработку нового изделия на полуавтоматическом станке до тех пор, пока не будет выполнена вторая операция для обрабатываемого изделия.

a) Определите количество изделий, ожидающих обработки на полуавтоматическом станке.

b) Чему равен процент времени простоя рабочего?

c) Сколько в среднем требуется времени для обработки изделия обеими операциями?

6. Модель (M/D/l): (GD/oo/oo). Покажите, что для ситуации, когда время обслуживания постоянно (в этом случае D{t) = 0), формула Поллачека-Хинчина принимает следующий вид:

где р = Я/р = ЯМЩ ир = 1/M{t).

7. Модель (М/Ет/1): (GD/oo/oo). Время обслуживания подчиняется распределению Эрланга с параметрами т и (здесь M{t] = m/pnD{t} = т/р). Покажите, что в данном случае формула Поллачека-Хинчина принимает такой вид:

Ls = wp +

и(1 +т)р2 2(1-mp)

Покажите, что формула Поллачека-Хинчина сводится к формуле для L$ в модели (М/М/1): (GD/oo/oo), когда время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону с математическим ожиданием 1 /р единиц времени.



9. Пусть в системе обслуживания с с параллельными сервисами клиенты прибывают в соответствии с распределением Пуассона со средней интенсивностью Я. Прибывающие клиенты распределяются между сервисами (занятыми или свободными) на основе строгого чередования.

a) Найдите распределение времени между последовательными поступлениями клиентов.

b) Предположите, что прибывающие клиенты случайным образом распределяются между с сервисами с вероятностями at, at>0,i=l, 2, с и а, + аг+ ... + а. = 1. Найдите распределение времени между последовательными поступлениями клиентов.

17.8. ДРУГИЕ МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

В предыдущих разделах основное внимание было сосредоточено на пуассонов-ских системах массового обслуживания. Однако в литературе по теории массового обслуживания рассматривается множество других моделей. В частности, системы массового обслуживания с приоритетами и системы обслуживания непуассонов-ского типа составляют существенную часть соответствующей научной литературы. С такими моделями можно познакомиться в большинстве специальных книг по теории массового обслуживания.

17.9. МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Уровень обслуживания в системе является функцией интенсивности обслуживания р и количества с параллельно работающих сервисов. В этом разделе рассматриваются две модели принятия решений для определения "подходящих" уровней обслуживания для систем массового обслуживания: 1) модель со стоимостными характеристиками и 2) модель предпочтительного уровня обслуживания. В обеих моделях более высокий уровень обслуживания подразумевает уменьшение времени ожидания в системе. В этих моделях для поиска равновесия между конфликтующими факторами (уровнем обслуживания и временем ожидания в системе) используются функциональные показатели обслуживающей системы, которые получены ранее для различных моделей.

17.9.1. Модель со стоимостными характеристиками

Модели со стоимостными характеристиками стремятся уравновесить два конфликтующих стоимостных показателя.

1. Затраты на обслуживание.

2. Потери, обусловленные задержками в предоставлении услуг (время ожидания клиента).

Эти два вида затрат конфликтуют между собой, так как увеличение одного из них автоматически ведет к уменьшению другого и наоборот (см. рис. 17.1).

Пусть уровень обслуживания представляет переменная х, равная рили с. Тогда модель со стоимостными характеристиками можно представить в следующем виде:

СОС(х) = СТС(х) + СТО(х),



СОС - средняя общая стоимость в единицу времени,

СТС - средняя стоимость обслуживания в единицу времени,

СТО - средняя стоимость ожидания в единицу времени.

Простейшим видом функций СТС и СТО являются линейные функции:

СТС(х) = Схх,

СТО(х) = ОД,

С, - удельная стоимость на единицу х в единицу времени,

С2 - "цена" ожидания в единицу времени на (ожидающего) клиента.

Следующие два примера иллюстрируют использование стоимостной модели.

В первом примере предполагается, что х равняется интенсивности обслуживания jj,

во втором - количеству параллельных сервисов с.

Пример 17.9.1

Издательская фирма покупает высокоскоростной копировальный аппарат для коммерческих целей. Продавцы предложили четыре модели копировальных аппаратов, характеристики которых приведены в следующей таблице.

Модель копировального аппаратаЭксплуатационные затраты (долл./ч) Скорость печати (стр./мин.)

1 15 30

2 20 36

3 24 50

4 27 66

Заказы поступают на фирму в соответствии с пуассоновским распределением с математическим ожиданием четыре работы на протяжении 24-часового дня. Объем работы является случайной величиной, но в среднем составляет примерно 10 ООО страниц. Договоры с клиентами предусматривают штраф в сумме 80 долл. (за одну работу) за задержку выполнения заказа на один день. Какой копировальный аппарат следует купить фирме?

Пусть индекс / представляет номер модели копировального аппарата / (/ = 1, 2, 3, 4). Общая ожидаемая стоимость обслуживания в день, связанная с использованием копировального аппарата;, представлена в следующем виде:

СОС, = СТС, + СТО, = Си х 24 + C2Lsi = 24С,, + 80Z,,,, /=1,2,3,4.

Значения величин Си приведены в постановке задачи. Определим значения 1„, считая, что с практической точки зрения копировальный аппарат может рассматриваться как модель (Л Л 1): (GD/oo/oo) обслуживающей системы. При этом интенсивность поступления заявок Я = 4 работы в день, а интенсивности р, обслуживания, соответствующие модели /-го копировального аппарата, приведены в следующей таблице.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [ 221 ] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]