назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [ 220 ] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


220

3. В вычислениях, которые приведены в листинге на рис. 17.10, может вызвать недоумение то обстоятельство, что средняя интенсивность поломки станков в цехе Яэфф увеличивается с ростом R. Объясните, почему следует ожидать увеличения Яэфф.

4. Оператор обслуживает пять автоматических станков. После того как каждый станок завершает выполнение пакета программ, оператор должен его перенастроить на выполнение нового пакета. Время выполнения пакета программ является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним значением 45 мин. Время наладки также описывается экспоненциальным распределением с математическим ожиданием 8 мин.

a) Определите среднее количество станков, которые ожидают наладки.

b) Вычислите вероятность того, что все станки работают.

c) Определите среднее время простоя станка.

5. Обслуживающая фирма выполняет разнообразные работы, такие как уборка в саду, хозяйственные работы, подрезка деревьев и покраска домов. Четыре сотрудника фирмы оставляют контору, каждый получив свое первое задание. После выполнения задания сотрудник может позвонить в контору и получить информацию относительно следующей заявки. Время выполнения задания имеет экспоненциальное распределение со средним значением 45 мин. Время переезда между последовательными работами также имеет экспоненциальное распределение со средним значением 20 мин.

a) Определите среднее число сотрудников фирмы, которые перемещаются между последовательными работами.

b) Вычислите вероятность того, что нет ни одного сотрудника в процессе перемещения.

6. После долгого ожидания, благодаря чудесам медицины, семья Ньюборнов была вознаграждена рождением пяти близнецов: двух мальчиков и трех девочек. На протяжении пяти первых месяцев жизнь малышей состояла из двух состояний: бодрствующего (и, в основном, с криком) и спящего. По словам Ньюборнов, эти состояния для малышей никогда не совпадают и проявляются совершенно случайно. На самом деле госпожа Ньюборн, статистик по профессии, считает, что время, когда каждый из малышей кричит, экспоненциально распределено со средним значением 30 мин. Время сна каждого малыша также является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним значением 2 часа. Определите следующее.

a) Среднее число малышей, которые бодрствуют в некоторый момент времени.

b) Вероятность того, что все малыши спят.

c) Вероятность того, что Ньюборны не будут счастливы по той причине, что бодрствующих малышей (которые при этом кричат) больше, чем спящих.

7. Проверьте корректность выражения для вероятностей рп в модели (M/M/R): (GD/K/K).

8. Покажите, что интенсивность поломок в цехе можно вычислить по формуле тФФ = Ц> гДе R - среднее число занятых механиков.

9. Проверьте следующие формулы для ситуации, когда работает один механик (Д=1):



Рп =

(К-п)\

17.7. МОДЕЛЬ (M/G/1): (GD/oo/oo). ФОРМУЛА ПОЛЛАЧЕКА-ХИНЧИНА

Анализ моделей массового обслуживания, в которых входные и выходные потоки не подчиняются пуассоновскому распределению, весьма сложен. Вообще в таких случаях в качестве альтернативного аппарата для анализа моделей обслуживания целесообразно использовать методы имитационного моделирования (см. главу 18).

В этом разделе рассматривается один из немногих вариантов системы массового обслуживания, не подчиняющейся пуассоновскому распределению, для которого могут быть получены аналитические результаты. Речь идет о том случае, когда время обслуживания t имеет произвольное распределение с математическим ожиданием M{t] и дисперсией D{t}. Для такой модели известны аналитические формулы для основных функциональных характеристик обслуживающей системы, таких как La, Lq, Ws и W . Однако в силу аналитических трудностей невозможно получить в замкнутой форме выражения для вероятностей рп.

Пусть Я - интенсивность поступления клиентов в системе обслуживания с одним сервисом. При заданных значениях M{t) и D{t) для времени обслуживания и условии AM{t} < 1 с использованием сложного анализа, связанного с применением аппарата цепей Маркова, можно показать, что4

Поскольку Яэфф = Я, то остальные функциональные характеристики обслуживающей системы (Lq, Wt и W ) можно получить из формулы для Ls, как это сделано в разделе 17.6.1.

В шаблоне Excel chl7PKFormula.xls автоматизирован процесс вычислений по этим формулам.

Пример 17.7.1

Пусть в задаче об автомойке из примера 17.6.2 сделано дополнительное предположение, что установлено новое оборудование, поэтому время обслуживания для всех автомобилей является постоянным и равным 10 мин. Как новое оборудование влияет на функционирование автомойки?

Вероятность, что сервис будет незагруженным, вычисляется как

Po = l-AM{t} = l-p.

4 Данная формула, собственно, и называется формулой Поллачека-Хинчина. -

Прим. ред.



17.7. Модель (M/G/1): (GD/oo/oc). Формула Поллачека-Хинчина

На основании данных примера 17.6.2 имеем, что Л = Л = 4 автомобиля в час. Время обслуживания является постоянным, так что М{/} = 10/60 = 1/6 часа и D{t) = 0. Следовательно,

4 - +

6) 2(, 4

,333 автомобилей,

L = 1,333-[-1 = 0,667 автомобиля,

,„ 1,333 „ „„„

Ws = --= 0,333 часа,

0,667 „„„

W=--= 0,167 часа.

* 4

Интересно отметить, что, несмотря на то, что интенсивности как поступления клиентов, так и обслуживания в рассматриваемой модели такие же, как и в пуассонов-ском случае из примера 17.6.2 (Я = 4 автомобиля в час и р = 1/M{t} = 6 автомобилей в час), среднее время ожидания в рассматриваемом случае меньше, так как время обслуживания является постоянным, о чем свидетельствует следующая таблица.

(М/М/1): (GD/qoH (M/D/1): (GD/qo/°q)

Ws (часы) 0,5 0,333

И/, (часы) 0,333 0,167

В этих результатах есть смысл, поскольку постоянное время обслуживания подразумевает большую определенность в функционировании системы.

УПРАЖНЕНИЯ 17.7

1. В примере 17.7.1 вычислите процент времени, когда оборудование простаивает.

2. Решите задачу из примера 17.7.1, предположив, что распределение времени обслуживания задается следующим образом.

a) Равномерное на интервале от 8 до 20 мин.

b) Нормальное с р= 12 минут и а- 3 мин.

c) Дискретное со значениями, равными 4, 8 и 15 мин., и вероятностями 0,2, 0,6 и 0,2 соответственно.

3. Фирма устанавливает деревянные крыши в новых и старых жилых домах в штате Арканзас. Будущие клиенты обращаются за услугами фирмы случайным образом с интенсивностью 9 работ за месяц (30 дней) и заносятся в очередь в соответствии с принципом "первым пришел- первым обслуживаешься". Дома отличаются своими размерами, но есть основания утверждать, что площади крыш равномерно распределены между 150 и 300 кв. единицами (1 кв. единица = 100 кв. футов). Рабочая бригада за день может выполнить работы на 75 кв. единицах площади крыши. Определите следующие показатели.

a) Среднее количество невыполненных заказов по установке крыш.

b) Среднее время, которое клиент вынужден ждать до завершения установки крыши.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [ 220 ] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]