назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [ 218 ] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


218

2. Газозаправочная станция для автомобилей располагает двумя газовыми насосами. В очереди, ведущей к насосам, могут расположиться не более пяти автомашин, включая те, которые обслуживаются. Если уже нет места, прибывающие автомобили уезжают искать другую заправку. Распределение прибывающих автомобилей является пуассоновским с математическим ожиданием 20 автомобилей в час. Время обслуживания клиентов имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием 6 мин. Определите следующие величины.

a) Процент автомобилей, которые будут искать другую заправку.

b) Процент времени, когда используется только один из насосов.

c) Процент времени использования двух насосов.

d) Вероятность того, что прибывающий автомобиль найдет свободное место в очереди.

e) Емкость очереди, которая обеспечит потерю в среднем не более 10 % потенциальных клиентов.

f) Емкость очереди, при которой вероятность того, что оба насоса свободны, не превышает 0,05.

3. В небольшой ремонтной мастерской работают три механика. В начале марта каждого года клиенты приносят в мастерскую свои культиваторы и газонокосилки для ремонта и технического обслуживания. Мастерская стремится принять все, что приносят клиенты. Однако когда очередной клиент видит на полу мастерской массу механизмов, ожидающих обслуживания, он уходит в другое место в поисках более быстрого обслуживания. На полу мастерской размещается не более 15 культиваторов или газонокосилок, не учитывая тех, которые уже ремонтируются. Клиенты прибывают в мастерскую в среднем каждые 10 мин., а механик тратит на один ремонт в среднем 30 мин. Как время между последовательными приходами клиентов, так и время выполнения работы подчиняются экспоненциальному распределению. Определите следующие величины.

a) Среднее число незанятых механиков.

b) Число потерянных потенциальных клиентов на протяжении десятичасового рабочего дня по причине ограниченной емкости мастерской.

c) Вероятность того, что следующий клиент будет обслужен в мастерской.

d) Вероятность того, что по крайней мере один механик будет свободен.

e) Среднее количество культиваторов и газонокосилок, которые ожидают обслуживания.

f) Показатель общей производительности мастерской.

4. Студенты первого курса одного из американских университетов приезжают на лекции на своих автомобилях (даже несмотря на то, что большинство из них нуждаются в проживании на территории университета и могут пользоваться удобной университетской бесплатной транспортной системой). На протяжении первых двух недель осеннего семестра на университетской территории преобладает беспорядок в транспортном движении, так как первокурсники отчаянно пытаются найти места для стоянки автомашин. С необычной самоотверженностью студенты терпеливо ожидают на пешеходных дорожках возле стоянок для автомашин, когда кто-нибудь заберет свою автомашину, чтобы можно было поставить на стоянку свои авто. Рассмотрим следующий характерный сценарий. Автостоянка имеет 30 мест, но может также расположить



еще 10 автомашин на пешеходных дорожках. Эти 10 автомашин не могут постоянно оставаться на пешеходных дорожках и должны ожидать, пока хоть одно место на стоянке освободится. Первокурсники прибывают к автостоянке в соответствии с распределением Пуассона с математическим ожиданием 20 автомашин в час. Время пребывания автомашины на стоянке подчиняется экспоненциальному распределению со средним значением примерно 60 минут.

a) Каков процент первокурсников, вынужденных повернуть обратно по той причине, что они не смогли поставить автомашину на стоянку?

b) Какова вероятность того, что прибывающий автомобиль будет ожидать на пешеходной дорожке?

c) Какова вероятность того, что прибывающий автомобиль займет единственное оставшееся место на стоянке?

d) Определите среднее количество занятых мест на стоянке.

e) Определите среднее количество занятых мест на пешеходных дорожках.

f) Определите среднее число первокурсников, которые не попадут на лекции на протяжении восьмичасового периода, так как стоянка будет занята.

5. Проверьте правильность формулы для р0 в модели (М/М/с): (GD/iV/oo) для случая, когда р/с Ф 1.

6. Для модели (М/М/с): (GD/iV/oo) докажите равенство \т = цс, где с - среднее количество занятых сервисов.

7. Проверьте правильность формул для р0 и Lg в модели (M/M/c):(GD/N/x>) для случая, когда р/с = 1.

8. Для модели (М/М/с): (GD/iV/oo) при N = с из соотношений для общей модели (раздел 17.5) определите Лп и рп, затем покажите, что формула для рп имеет такой вид:

Модель самообслуживания (М/М/<я): (GD/oo/oo). В этой модели количество сервисов является неограниченным, так как клиент выступает одновременно и в роли сервиса. Типичным примером модели самообслуживания является сдача письменной части экзамена на право вождения автомобиля. Газозаправочные станции автомобилей с самообслуживанием и банковские автоматы с 24-часовым режимом работы не вписываются в рассматриваемую здесь модель, так как обслуживающими устройствами в этих случаях являются, по существу, насосы и банковские автоматы соответственно.

В рассматриваемой модели предполагается, что интенсивность поступления клиентов Я является постоянной. Интенсивность обслуживания р также является постоянной. Воспользовавшись общей моделью из раздела 17.5, имеем

Р« = - Pt» " = 1.2, с,

Ял = Я, п = 0, 1, 2, р„ = пр, п = 0,1, 2, ...



Таким образом,

Р„ =

Из равенства = 1 следует, что

Ро =

1 +P + -+ ... 2!

В результате получаем

Р, =

, и = 0, 1,2, ...

Эти вероятности совпадают с вероятностями распределения Пуассона с математическим ожиданием Ьа = р. Как и следовало ожидать, здесь (по принципу самообслуживания) Lq = W = 0.

Инвестор вкладывает 1000 долл. в месяц в специальный тип облигаций фондовой биржи. Так как инвестор должен ждать возможности хорошей "покупки", фактическое время совершения этой покупки является случайным. Инвестор обычно держит облигации в среднем три года, но продаст их в случайный момент времени, когда представится такая возможность. Хотя инвестор известен как хитрый биржевой игрок, опыт прошлого показывает, что около 25 % облигаций теряют в цене примерно 20 % в год. Остальные 75 % облигаций повышаются в цене примерно на 12 % в год. Оценим среднюю стоимость акций инвестора на протяжении длительного периода.

Эту ситуацию можно представить в виде модели (М/М/ю): (GD/oo/oo), так как инвестор не должен ждать в очереди, чтобы купить или продать облигации. Среднее время между размещениями заказа равняется 1 месяц, что дает значение Я = 12 облигаций в год. Интенсивность продажи облигаций равна р = 1/3 облигаций в год.

При указанных значениях Я и получаем

Средняя годовая стоимость облигаций инвестора на протяжении длительного периода оценивается следующей величиной:

Пример 17.6.7

Ls = р = - = 36 облигаций.

(0,25Isx 1000)(1 -°,20) +(0,751, х 1000)(1 + 0,12) = 37 440 долл.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.7

1. В примере 17.6.7 вычислите следующие показатели.

a) Вероятность того, что инвестор продаст все свои облигации.

b) Вероятность того, что инвестор будет иметь больше 10 облигаций.

c) Вероятность того, что инвестор будет иметь от 30 до 40 облигаций.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [ 218 ] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]