14. Покажите, что для модели (М/М/с): (GD/oo/oo) обслуживающей системы справедливы следующие утверждения.
a) Вероятность того, что клиент ожидает, равняетсярср/(с - р).
b) Если имеется очередь, то ее средняя длина равна с/(с - р).
c) Среднее время ожидания в очереди тех клиентов, которые вынуждены ждать, равно 1/р(с - р).
15. Покажите, что для модели (М/М/с): (GD/oo/oo) обслуживающей системы плотность вероятности времени ожидания в очереди имеет следующий вид:
(с-Щс-р)
пру"-р)г п г>0
1Т]ГА г>0-
(Совет. Преобразуйте систему обслуживания с с каналами в эквивалентную одноканальную, для которой
P{t >Т} = Pmint, > г} = [е-»Т)с =е~\
где t - время обслуживания в эквивалентной одноканальной системе обслуживания.)
16. Докажите, что если плотность вероятности wq(T) задается формулой из предыдущего упражнения, то
Р{Т>у}=Р{Т>0}еЛ)у,
где Р{Т > 0} - вероятность того, что поступающий в систему клиент будет ждать обслуживания.
17. Докажите, что в модели (М/М/с): (FCFS/oo/oo) системы обслуживания плотность вероятности времени ожидания клиента в очереди имеет вид
-(т) = ре- + У" {-!- - в-*-* 1А. г > 0. (с-1)!(с-р-1) [с-р J
(Подсказка. Распределение случайной величины г представляет собой свертку распределений времени ожидания в очереди Т (см. упражнение 15) и времени обслуживания.)
Модель (М/М/с) : (GD/JV/oo), c<N. Эта модель обслуживающей системы отличается от модели (М/М/с): (GD/oo/oo) тем, что емкость системы ограничена сверху значением N (тогда максимальная длина очереди равна N - с). Интенсивности поступления и обслуживания клиентов равны Я и р. соответственно. Эффективная интенсивность поступления заявок в систему обслуживания Я меньше Я в силу ограниченности емкости системы значением N.
Параметры Я„ и рп общей модели обслуживающей системы в данной модели определяются следующим образом:
[\, 0<n<N,
I иц, 0 < п < с, и. = <
[cu, c<n<N.
Подставляя Яп и рп в общее выражение для рп из раздела 17.5 и используя обозначение р = X/р, получаем
г л»
о < п < с.
-р„, c<n<N,
Iе1-
с! 1-1
= 1.
Далее мы вычисляем L для ситуации, когда р/с * 1:
сс! JP}7T0\c
(с-1)!(с-р)-
(N-c + \)\ 1
Можно также показать, что для ситуации, когда р/с = 1, выражение для Lq имеет следующий вид:
p(N-c){N-c + \) р 2с! Ро с
Для определения W и, следовательно, W, и необходимо получить выражение для Я. Поскольку ни один клиент не может попасть в систему после того, как достигнут лимит TV по ее вместимости, то
Атотери дрлг>
Л*ф = Я~ Потери = С1 -рлгм-
Пример 17.6.6
Пусть в задаче, связанной с объединением служб такси, которая рассматривалась в примере 17.6.5, известно, что объединенная служба такси не имеет финансовых возможностей для покупки новых автомашин. Друг нового хозяина советует информировать пассажиров о возможных задержках с прибытием заказанной автомашины, как только список ожидающих клиентов достигает шести. Эта мера, несомненно, заставит новых клиентов искать обслуживания в другом месте, что уменьшит время ожидания тех клиентов, которые уже ожидают в очереди. Необходимо узнать, насколько полезным является совет друга.
Ограничение списка ожидающих в очереди до 6 клиентов равносильно тому, что емкость системы становится равной 7v = 6 + 4= 10 клиентов. Следовательно, мы имеем дело с системой обслуживания модели (М/М/4): (GD/10/по) с Л = 16 клиентов в час и ju= 5 поездок в час. На рис. 17.9 представлены выходные данные, полученные с помощью программы TORA для этой модели.
Title: Example 17.6-6
Scenario 1- (M/M/4):(GD/10/infinity)
Lambda = 16,00000 Mu= 5,00000
Lambda eff = 15,42815 Rho/c = 0,80000
Ls= 4,23984 Lq= 1,15421
Ws= 0,27481 Wq= 0,07481
| Probability, pn Cumulative, Pn | | Probability, pn Cumulative, Pn |
| 0,03121 | 0,03121 | | 0,08726 0,79393 |
| 0,09986 | 0,13106 | | 0,06981 0,86374 |
| 0,15977 | 0,29084 | | 0,05584 0,91958 |
| 0,17043 | 0,46126 | | 0,04468 0,96426 |
| 0,13634 | 0,59760 | | .0,03574 1,00000 |
| 0,10907 | 0,70667 | | |
Рис. 17.9. Выходные результаты программы TORA для примера 17.6.6
Среднее время ожидания Wq при отсутствии ограничения на емкость системы равняется 0,149 ч (я 9 мин.) (см. рис. 17.8), что почти в два раза больше значения 0,075 ч (» 4,5 мин.) м- аналогичного показателя при наличии ограничения на емкость системы. Это существенное уменьшение функциональной характеристики системы достигнуто за счет потери примерно 3,6 % потенциальных клиентов. Этот результат, однако, не отражает возможной потери расположения клиентов к деятельности службы такси.
УПРАЖНЕНИЯ 17.6.6
1. В примере 17.6.6 определите следующие показатели.
a) Среднее количество свободных такси.
b) Вероятность того, что клиент, вызывающий такси, будет последним из тех, кто ставится в очередь.
c) Максимальное число ожидающих в очереди клиентов при условии, что время ожидания не превышает трех минут.