назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [ 217 ] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


217

14. Покажите, что для модели (М/М/с): (GD/oo/oo) обслуживающей системы справедливы следующие утверждения.

a) Вероятность того, что клиент ожидает, равняетсярср/(с - р).

b) Если имеется очередь, то ее средняя длина равна с/(с - р).

c) Среднее время ожидания в очереди тех клиентов, которые вынуждены ждать, равно 1/р(с - р).

15. Покажите, что для модели (М/М/с): (GD/oo/oo) обслуживающей системы плотность вероятности времени ожидания в очереди имеет следующий вид:

(с-Щс-р)

пру"-р)г п г>0

1Т]ГА г>0-

(Совет. Преобразуйте систему обслуживания с с каналами в эквивалентную одноканальную, для которой

P{t >Т} = Pmint, > г} = [е-»Т)с =е~\

где t - время обслуживания в эквивалентной одноканальной системе обслуживания.)

16. Докажите, что если плотность вероятности wq(T) задается формулой из предыдущего упражнения, то

Р{Т>у}=Р{Т>0}еЛ)у,

где Р{Т > 0} - вероятность того, что поступающий в систему клиент будет ждать обслуживания.

17. Докажите, что в модели (М/М/с): (FCFS/oo/oo) системы обслуживания плотность вероятности времени ожидания клиента в очереди имеет вид

-(т) = ре- + У" {-!- - в-*-* 1А. г > 0. (с-1)!(с-р-1) [с-р J

(Подсказка. Распределение случайной величины г представляет собой свертку распределений времени ожидания в очереди Т (см. упражнение 15) и времени обслуживания.)

Модель (М/М/с) : (GD/JV/oo), c<N. Эта модель обслуживающей системы отличается от модели (М/М/с): (GD/oo/oo) тем, что емкость системы ограничена сверху значением N (тогда максимальная длина очереди равна N - с). Интенсивности поступления и обслуживания клиентов равны Я и р. соответственно. Эффективная интенсивность поступления заявок в систему обслуживания Я меньше Я в силу ограниченности емкости системы значением N.

Параметры Я„ и рп общей модели обслуживающей системы в данной модели определяются следующим образом:

[\, 0<n<N,

I иц, 0 < п < с, и. = <

[cu, c<n<N.



Подставляя Яп и рп в общее выражение для рп из раздела 17.5 и используя обозначение р = X/р, получаем

г л»

о < п < с.

-р„, c<n<N,

Iе1-

с! 1-1

= 1.

Далее мы вычисляем L для ситуации, когда р/с * 1:

сс! JP}7T0\c

(с-1)!(с-р)-

(N-c + \)\ 1

Можно также показать, что для ситуации, когда р/с = 1, выражение для Lq имеет следующий вид:

p(N-c){N-c + \) р 2с! Ро с

Для определения W и, следовательно, W, и необходимо получить выражение для Я. Поскольку ни один клиент не может попасть в систему после того, как достигнут лимит TV по ее вместимости, то

Атотери дрлг>

Л*ф = Я~ Потери = С1 -рлгм-

Пример 17.6.6

Пусть в задаче, связанной с объединением служб такси, которая рассматривалась в примере 17.6.5, известно, что объединенная служба такси не имеет финансовых возможностей для покупки новых автомашин. Друг нового хозяина советует информировать пассажиров о возможных задержках с прибытием заказанной автомашины, как только список ожидающих клиентов достигает шести. Эта мера, несомненно, заставит новых клиентов искать обслуживания в другом месте, что уменьшит время ожидания тех клиентов, которые уже ожидают в очереди. Необходимо узнать, насколько полезным является совет друга.



Ограничение списка ожидающих в очереди до 6 клиентов равносильно тому, что емкость системы становится равной 7v = 6 + 4= 10 клиентов. Следовательно, мы имеем дело с системой обслуживания модели (М/М/4): (GD/10/по) с Л = 16 клиентов в час и ju= 5 поездок в час. На рис. 17.9 представлены выходные данные, полученные с помощью программы TORA для этой модели.

Title: Example 17.6-6

Scenario 1- (M/M/4):(GD/10/infinity)

Lambda = 16,00000 Mu= 5,00000

Lambda eff = 15,42815 Rho/c = 0,80000

Ls= 4,23984 Lq= 1,15421

Ws= 0,27481 Wq= 0,07481

Probability, pn Cumulative, Pn

Probability, pn Cumulative, Pn

0,03121

0,03121

0,08726 0,79393

0,09986

0,13106

0,06981 0,86374

0,15977

0,29084

0,05584 0,91958

0,17043

0,46126

0,04468 0,96426

0,13634

0,59760

.0,03574 1,00000

0,10907

0,70667

Рис. 17.9. Выходные результаты программы TORA для примера 17.6.6

Среднее время ожидания Wq при отсутствии ограничения на емкость системы равняется 0,149 ч (я 9 мин.) (см. рис. 17.8), что почти в два раза больше значения 0,075 ч (» 4,5 мин.) м- аналогичного показателя при наличии ограничения на емкость системы. Это существенное уменьшение функциональной характеристики системы достигнуто за счет потери примерно 3,6 % потенциальных клиентов. Этот результат, однако, не отражает возможной потери расположения клиентов к деятельности службы такси.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.6

1. В примере 17.6.6 определите следующие показатели.

a) Среднее количество свободных такси.

b) Вероятность того, что клиент, вызывающий такси, будет последним из тех, кто ставится в очередь.

c) Максимальное число ожидающих в очереди клиентов при условии, что время ожидания не превышает трех минут.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [ 217 ] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]