назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [ 216 ] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


216

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.5

1. В примере 17.6.5 определите следующие параметры.

a) Вероятность того, что все автомобили в каждой из двух служб такси находятся на вызове.

b) Вероятность того, что все такси в объединенной компании будут на вызове.

c) Среднее количество свободных такси в каждой из двух моделей.

d) Количество машин, которое следует иметь объединенной компании для того, чтобы время ожидания клиентом приезда автомобиля по вызову составляло не более пяти минут.

2. В примере 17.6.5 предположите, что среднее время обслуживания клиента фактически равняется 14,5 мин., так что коэффициент загруженности автомобилей

Заявки на обслуживание поступают в соответствии с распределением Пуассона, а время обслуживания клиентов распределено по экспоненциальному закону. Недавно обе службы были приобретены инвестором, который заинтересован в их объединении с единым диспетчерским пунктом для обеспечения более быстрого обслуживания клиентов. Необходимо проанализировать предложения нового хозяина.

С точки зрения теории массового обслуживания такси представляют собой обслуживающие устройства, а вызов такси является сервисом. Каждая служба такси может быть представлена моделью (М/М/2): (GD/oo/oo) с Я = 8 вызовов в час и ц = = 60/12 = 5 поездок на одно такси в час. Объединение служб такси приведет к модели (Л Л 4): (GD/oo/oo) сЯ=2х8=16 вызовов в час и /и = 5 поездок на одно такси в час.

Подходящей мерой для сравнения двух моделей обслуживания является среднее время ожидания клиентом такси от момента его вызова до момента прибытия автомобиля, т.е. Wq. На рис. 17.8 представлены выходные данные программы TORA для двух описанных моделей. Результаты показывают, что время ожидания клиентом приезда автомобиля равняется 0,356 ч (примерно 21 мин.) для модели обслуживания с двумя таксомоторными службами и 0,149 ч (примерно 9 мин.) для модели обслуживания в объединенном варианте. Значительное уменьшение (более чем на 50 %) функционального показателя рассмотренной обслуживающей системы делает очевидной целесообразность объединения двух служб такси.

Title: Example 17.6-5

Comparative Analysis

Scenario с Lambda Mu Ldaeff pO Ls Lq Ws Wq

1 2 8,00000 5,00000 8,00000 0,11111 4,44444 2,84444 0,55556 0,35556

2 4 16,00000 5,00000 16,00000 0,02730 5,58573 2,38573 0,34911 0,14911

Рис. 17.8. Результаты расчетов в программе TORA для примера 17.6.5

Из приведенного анализа следует, что объединение систем обслуживания всегда обеспечивает более эффективный режим работы. Этот вывод остается справедливым даже в том случае, когда загруженность всех сервисов очень высока.



(= Л/jjc) для режимов работы с двумя и четырьмя такси возрастает до 96 % и более. Имеет ли смысл при этих условиях объединять две компании в одну?

3. Определите минимальное количество сервисов в каждой из следующих ситуаций (предполагается пуассоновское распределение поступления клиентов и обслуживания), которое гарантирует стационарный режим работы системы массового обслуживания (в этом случае длина очереди не будет неограниченно возрастать).

a) Клиенты прибывают каждые 5 мин., а обслуживаются с интенсивностью 10 клиентов в час.

b) Среднее время между последовательными прибытиями клиентов равняется 2 мин., а среднее время обслуживания - 6 мин.

c) Интенсивность входного потока - 30 клиентов в час, а интенсивность обслуживания одним сервисом - 40 клиентов в час.

4. Посетители прибывают в банк в соответствии с распределением Пуассона с математическим ожиданием 45 клиентов в час. Длительность деловых операций с одним клиентом имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием примерно пять минут. Банк планирует использовать од-ноканальный многокассовый режим работы, подобный тем, которые применяются в аэропортах и почтовых отделениях.3 Управляющий отдает себе отчет в том, что клиенты могут обратиться в другие банки, если они чувствуют, что их ожидание в очереди является "чрезмерным". Поэтому управляющий хочет уменьшить среднее время ожидания в очереди до 30 секунд, не более. Сколько кассиров должен иметь банк?

5. В ресторане быстрого питания работают три кассира. Посетители прибывают в ресторан в соответствии с распределением Пуассона каждые три минуты и образуют одну очередь, чтобы быть обслуженным первым освободившимся кассиром. Время до момента размещения заказа экспоненциально распределено со средним, равным примерно пяти минутам. Вместимость зала ожидания внутри ресторана ограничена. Однако ресторан имеет хорошую кухню и при необходимости посетители готовы выстраиваться в очередь и вне ресторана. Определите размер зала ожидания внутри ресторана, кроме мест возле касс, таким образом, чтобы с вероятностью не менее 0,999 следующий посетитель не ожидал обслуживания вне ресторана.

6. Небольшое почтовое отделение имеет два обслуживающих окна. Клиенты прибывают на почтовое отделение в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 1 клиент в каждые три минуты. Однако лишь 80 % из них нуждаются в обслуживании возле окон. Время обслуживания клиента подчиняется экспоненциальному закону со средним значением 5 минут. Все прибывающие клиенты образуют одну очередь и подходят к свободному окну по принципу "первым пришел - первым обслуживаешься".

a) Какова вероятность того, что очередной клиент будет ожидать в очереди?

b) Какова вероятность того, что оба обслуживающих окна свободны?

c) Какова средняя длина очереди?

d) Можно ли предложить приемлемое обслуживание лишь с одним окном? Приведите аргументы.

3 Здесь имеется в виду, что есть одна очередь, но клиенты обслуживаются несколькими сервисами (в данном примере сервисы - это кассы). - Прим. ред.



7. Вычислительный центр университета состоит из четырех одинаковых больших ЭВМ коллективного пользования. Число работающих в центре пользователей в любой момент времени равно 25. Каждый пользователь готовит свою программу для ее машинной реализации через терминал, куда она сразу же передается. Время подготовки программ имеет экспоненциальное распределение со средним значением 15 мин. Поступающие программы автоматически размещаются для реализации на первую свободную ЭВМ. Время выполнения программы имеет экспоненциальное распределение со средним значением 2 мин. Вычислите следующие показатели.

a) Вероятность того, что программа не будет выполнена сразу же, как только она поступила на терминал.

b) Среднее время до получения пользователем результатов машинной реализации программы.

c) Среднее количество программ, ожидающих машинной реализации.

d) Процент времени, когда все ЭВМ вычислительного центра свободны.

e) Среднее количество свободных ЭВМ.

8. Аэропорт обслуживает пассажиров трех категорий: городских жителей, жителей пригородов и транзитных пассажиров. Прибытие в аэропорт пассажиров всех трех категорий во времени происходит в соответствии с распределением Пуассона со средней интенсивностью 15, 10 и 7 пассажиров в час соответственно. Время регистрации пассажиров подчиняется экспоненциальному распределению с математическим ожиданием 6 мин. Определите количество стоек для регистрации пассажиров, которыми должен располагать аэропорт в каждом из следующих случаев.

a) Среднее время пребывания пассажира в режиме ожидания и регистрации не должно превышать 15 мин.

b) Процент свободных регистрационных стоек не превышает 10 %.

c) Вероятность того, что все регистрационные стойки свободны, не превышает 0,01.

9. Для модели (М/М/с): (GD/oo/oo) обслуживающей системы Морс (Morse) [3] показал, что при условии р/с -> 1 L = р/(с - р). Используя эту информацию, покажите, что отношение среднего времени ожидания в модели (М/М/с): (GD/oo/oo) к аналогичному параметру в модели (М/М/1): (GD/oo/oo) стремится к 1/с при р/с-> 1. Следовательно, при с = 2 среднее время ожидания может быть уменьшено на 50 %. Из этого следует вывод, что объединение систем обслуживания целесообразно всегда.

10. В процедуре вывода формулы для вероятности рп в модели (М/М/с): (GD/oo/oo) укажите, какая ее часть требует условия р/с < 1. Объясните значение этого условия. Что произойдет, если это условие не будет выполнено?

11. Используя формулу Lq =*е](п - с) рп , докажите, что Ls=Lq+c, где с - среднее количество работающих сервисов. Далее покажите, что с = Я/р.

12. Покажите, что формулу для вероятностей рп в модели (М/М/1): (GD/oo/oo) можно получить из аналогичной формулы для модели (М/М/с): (GD/oo/oo) при с = 1.

13. Покажите, что в модели (М/М/с): (GD/oo/oo) имеет место следующая формула:

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [ 216 ] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]