назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [ 214 ] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


214

w(t) = ХЧтI п + \)р, = Хц(ц/)е"(1-р)р" = /1=0 /1=0 "!

= (1-р)йе-и-£1-=ц(1-р)в--Ч, т>0. п=о л!

Таким образом показано, что случайная величина г имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием Wt = 1/Д1 - р).

Пример 17.6.3

В модели работы автомойки из примера 17.6.2 вполне обоснованным является предположение о том, что обслуживание выполняется в соответствии с дисциплиной очереди FCFS. Определим надежность использования величины Ws в качестве оценки времени ожидания в системе. Для этого оценим часть клиентов, время ожидания которых превышает Ws. Используя формулу Wt = - р), получаем

P{x>Ws} = \- Цт)Л = е-м(,-р)г- = в1 =0,368.

Следовательно, при дисциплине очереди FCFS для 37 % клиентов время ожидания превысит значение Ws. Этот процент кажется чрезмерно большим, особенно если учесть, что текущее значение Ws для рассматриваемой системы обслуживания также является большим (0,5 часа). Заметим, что найденная вероятность (е « 0,368) не зависит от интенсивностей Лир модели (M/M/l): (FCFS/co/co); это в свою очередь означает, что ее величину нельзя уменьшить. Следовательно, если мы проектируем систему на основании средней величины Ws, то следует ожидать, что для 36,8 % клиентов время ожидания превысит среднее время ожидания в системе.

Существует две возможности улучшить ситуацию: 1) увеличить интенсивность обслуживания клиентов р для уменьшения значения Ws до приемлемого уровня или 2) выбрать интенсивность обслуживания клиентов таким образом, чтобы вероятность того, что время ожидания превысит заранее определенную величину (скажем, 10 минут), была меньше приемлемо малой величины (например, 10 %). Первая возможность эквивалентна поиску такого значения р, что Ws <Т , а вторая - вычислению

такого значения р., что Рт > Т \ < а , где Т и а должны определяться пользователем.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.3

1. В условиях упражнения 17.6.2.3 определите вероятность того, что для раскрытия преступления детективу Коломбо потребуется больше одной недели.

2. В примере 17.6.3 вычислите следующее.

a) Среднеквадратическое отклонение для времени гожидания в системе.

b) Вероятность того, что время ожидания в системе изменится на половину среднеквадратического отклонения относительно своего среднего значения.

3. В примере 17.6.3 определите интенсивность обслуживания клиентов р. таким образом, чтобы выполнялось условие Wt < 10 мин.

4. В примере 17.6.3 определите такое значение интенсивности обслуживания клиентов р, при котором будет выполняться условиеР{т> 10 мин.} < 0,1.



5. Вернитесь к упражнению 17.6.2.5. Для привлечения большего числа посетителей администрация ресторана решила предлагать бесплатно порцию прохладительного напитка каждому клиенту, который вынужден ожидать более 5 мин. Если стоимость порции прохладительного напитка равняется 50 центам, то в какую сумму в среднем обойдется ресторану ежедневное угощение прохладительными напитками? Предполагается, что ресторан открыт для клиентов 12 часов в сутки.

6. Покажите, что для модели (М/М/1): (FCFS/co/co) системы обслуживания плотность вероятности времени пребывания клиентов в очереди имеет следующий вид:

Модель (М/М/1): (GD/N/oo). Эта модель отличается от рассмотренной выше только тем, что система вмещает не более N клиентов (максимальная длина очереди равняется N - 1). Примерами обслуживающей системы такого типа служат производственные ситуации, когда станок может иметь ограниченную зону складирования заготовок, а также рестораны быстрого питания с одним пунктом обслуживания клиентов на автомобилях и т.д.

Ситуация в рассматриваемой модели такова, что, как только число клиентов в системе достигает N, ни один из дополнительных клиентов на обслуживание не принимается. Из этого условия следует, что

С помощью этой формулы найдите W .

fin = ju, п = 0, 1, ...

Используя обозначение р = Л/р, имеем

Значение вероятности р0 определяется из уравнения tYip„ = l » которое принимает

я (1

Отсюда получаем

Следовательно,

л = 0, 1, ...,N.



Заметим, что в этой модели значение параметра р = Л/р не обязательно должно быть меньше единицы, так как поступления клиентов в систему контролируются максимальной емкостью системы N. Это значит, что в данном случае в качестве интенсивности поступления клиентов скорее выступает Л, нежели Л. Так как клиенты будут потеряны в том случае, если в системе находится N клиентов, тогда, как показано на рис. 17.5,

потери Рп>

Следует ожидать, что будет меньше р.

Среднее число клиентов в системе вычисляется по формуле

. j о

(i-p)p </fi-p** l-p

p{l-(Af + l)pw+ V+

(1-p)(1-pw*)

При p= 1 Lt = N/2 (проверьте!). Используя значения Lt и A, можно также получить выражения для Wt, Wq и Lq, как это сделано в подразделе 17.6.1.

Использование калькулятора для вычислений по формулам теории массового обслуживания является в лучшем случае громоздким (в последующих моделях формулы еще более сложные!). Поэтому автор рекомендует использовать программное обеспечение TORA (или шаблон Excel chl7PoissonQueues.xls).

Пример 17.6.4

Рассмотрим ситуацию с автомойкой автомобилей из примера 17.6.2. Пусть станция имеет четыре места для стоянки автомобилей. Если все места на стоянке заняты, вновь прибывающие автомобили вынуждены искать другую автомойку. Хозяин хочет определить влияние ограниченного количества мест для стоянки автомобилей на потери клиентов.

В обозначениях, принятых в модели, максимальная вместимость системы равна N- 4 + 1 = 5. Исходными данными для программы TORA являются числа 4, 6, 1, 5 и оо соответственно, а выходные данные представлены на рис. 17.7.

Так как емкость системы равняется N=5, доля потерянных клиентов составляет р5 = 0,04812, что при круглосуточной работе моечной станции эквивалентно потере (Лръ) х 24 = 4 х 0,04812 х 24 = 4,62 автомобилей в день. Решение относительно увеличения количества мест для стоянки автомобилей должно основываться на сумме потерь автомойки.

Анализируя ситуацию с другой стороны, замечаем, что среднее время пребывания клиента в обслуживающей системе = 0,3736 (примерно 22 мин.), т.е. меньше 30 мин., как это было в примере 17.6.3, когда всем прибывающим автомобилям разрешалось встать в очередь. Уменьшение этого показателя обслуживающей системы примерно на 25 % обеспечено за счет потери около 4,8 % потенциальных клиентов из-за ограниченного количества мест на стоянке автомобилей.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [ 214 ] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]