назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [ 213 ] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


213

Пусть неизвестная переменная s представляет искомое количество мест на стоянке. Тогда система имеет емкость s + 1 (очередь плюс место на мойке). Прибывающий автомобиль в 90 % случаев получит место на стоянке, если в системе находится максимум s автомобилей. Это условие эквивалентно следующему вероятностному утверждению:

p0+Pl + ...+ps>0,9.

Из листинга, показанного на рис. 17.6, следует, что суммы вероятностей Рп равны 0,86831 и 0,91221 при п - 4 и п = 5 соответственно. Это значит, что условие выполняется при s > 5 мест на стоянке.

Количество мест на стоянке s может быть также определено с использованием формулы, определяющейрп. Получаем

(1 -р)(1 +р + р+ ... + )>0,9.

Сумма усеченного геометрического ряда равна (1 - +1)/(1 - р). Следовательно, последнее выражение приводится к виду

(1-/Г)>0,9.

Упрощая это неравенство, получаем

/Г<0,1.

Логарифмируя обе части последнего неравенства, получаем следующее.

,гШ2-,.4.в7,.5.

Таким образом, необходимо s > 5 мест на стоянке.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.2

1. В задаче из примера 17.6.2 выполните следующее.

a) Определите процент использования автомойки.

b) Определите вероятность того, что прибывающий автомобиль должен ожидать на стоянке, прежде чем попасть в моечный бокс.

c) Определите вероятность того, что прибывающий автомобиль найдет свободное место на стоянке при условии, что там имеется семь мест.

d) Сколько должно быть мест на стоянке, чтобы прибывающий автомобиль в 99 % случаев нашел место на стоянке?

2. Студент университета Джон иногда подрабатывает, чтобы улучшить свое материальное положение. Интервал времени между последовательными поступлениями заявок на работу является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним значением пять дней. Время, необходимое для выполнения работы, также является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним значением четыре дня.

a) Какова вероятность того, что Джон будет без работы?

b) Если за каждую работу Джон получает примерно 50 долл., то каков его среднемесячный заработок?



с) Если в конце семестра Джон решает передоверить невыполненные работы другому лицу по 40 долл. за каждую работу, то каково среднее значение суммы, которую должен уплатить Джон?

3. На протяжении многих лет детектив Коломбо из отделения полиции города Фейетвилл демонстрирует феноменальный успех в расследовании каждого криминального дела, за которое он берется. Для него раскрытие любого криминального дела - это всего лишь вопрос времени. Коломбо соглашается, что время раскрытия каждого отдельного преступления является "совершенно случайным", но в среднем каждое расследование занимает около полторы недели. Криминальные дела в мирном городке, где работает Коломбо, явление не очень частое. Они происходят случайным образом с интенсивностью одно преступление в месяц. Проанализируйте "производительность" работы детектива Коломбо; в частности, найдите следующие показатели.

a) Среднее число случаев, которые ожидают расследования.

b) Процент времени, когда детектив занят расследованиями.

c) Среднее время, необходимое для раскрытия преступления.

4. Автомобили прибывают к пропускному пункту туннеля Линкольна, где взимается плата за проезд, в соответствии с распределением Пуассона со средним 90 единиц в час. Время прохождения пропускного пункта автомобилями является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону со средним 38 секунд. Водители жалуются на долгое время ожидания, и власти планируют сократить среднее время прохождения пропускного пункта до 30 секунд, установив автоматическое устройство для взимания транспортной пошлины, если только выполняются два условия: 1) среднее количество ожидающих автомобилей превышает 5 единиц при существующей системе взимания пошлины и 2) процент времени простоя нового устройства, установленного на пропускном пункте, не будет превышать 10 %. Может ли быть оправдана установка нового устройства?

5. Ресторан быстрого питания имеет один пункт обслуживания, где клиенты обслуживаются, не выходя из автомашины. Машины прибывают в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 2 клиента за каждые 5 мин. Возле пункта обслуживания может расположиться не больше 10 автомашин, включая ту, которую обслуживают. Другие автомашины при необходимости могут ожидать обслуживания за пределами этого пространства. Время обслуживания одного клиента распределено по экспоненциальному закону со средним значением 1,5 мин. Определите следующие показатели.

a) Вероятность того, что пункт обслуживания свободен.

b) Среднее число клиентов, ожидающих обслуживания.

c) Среднее время ожидания клиента до того момента, когда он делает заказ.

d) Вероятность того, что очередь превысит десятиместное пространство перед пунктом обслуживания.

6. Банк располагает одним пунктом обслуживания, где клиенты обслуживаются, не выходя из автомашины. Клиенты прибывают в соответствии с распределением Пуассона со средним значением 10 клиентов в час. Время обслуживания одного клиента распределено по экспоненциальному закону со средним значением 5 мин. Напротив пункта обслуживания имеется место для трех автомобилей, включая и тот, что обслуживается. Другие прибывающие автомашины выстраиваются в очередь вне этого пространства.



a) Какова вероятность того, что прибывающий автомобиль может занять одно из трех мест возле пункта обслуживания?

b) Какова вероятность того, что прибывающий автомобиль будет ожидать обслуживания вне зоны для трех автомобилей?

c) Каково среднее время ожидания прибывающего клиента до того момента, когда его начнут обслуживать?

d) Сколько мест для автомобилей должно быть возле обслуживающего пункта обслуживания, чтобы прибывающий клиент мог найти там место по крайней мере в 20 % случаев?

7. В модели (М/М/1): (GD/oo/oo) системы обслуживания покажите, что в общем случае Ls не равно Lq + 1. При каком условии возникает это равенство?

8. Для модели (М/М/1): (GD/oo/oo) системы обслуживания получите выражение для Lq, используя формулу для 2(и -\)р„-

9. Для модели (М/М/1): (GD/oo/oo) системы обслуживания покажите, что

a) среднее число клиентов в очереди, если она не пуста, равно 1/(1 - р),

b) среднее время ожидания в очереди равно 1/(р - Я).

Распределение времени ожидания в модели (M/M/l):(FCFS/oo/oo)2. Вывод формулы для вероятностей рп в общей модели системы обслуживания, рассмотренной в разделе 17.5, абсолютно не зависит от дисциплины очереди. Это значит, что математические ожидания всех функциональных параметров Wt, W , Lt и Lq справедливы для системы с любой дисциплиной очереди.

В отличие от среднего времени ожидания в системе обслуживания, плотность вероятности его распределения зависит от дисциплины очереди. Проиллюстрируем это утверждение путем построения плотности вероятности времени ожидания для модели (М/М/1) с дисциплиной очереди FCFS ("первым пришел - первым обслуживаешься").

Обозначим через г количество времени, которое только что прибывший клиент проведет в системе от момента прибытия до завершения обслуживания. Исходя из дисциплины очереди FCFS, если в системе уже находится п клиентов, которые поступили в систему перед только что прибывшим, то

x = t[ + t2 +... + /„,.,,

где t\ - время, необходимое для завершения обслуживания клиента, который уже находится в средстве обслуживания системы, а г2, г3, ...,<„ - интервалы времени, которые потребуются для обслуживания п - 1 клиентов, которые находятся в очереди. Величина tn+1 представляет собой время обслуживания только что прибывшего клиента.

Обозначим через ш(гл+1) условную плотность вероятности г, где условием служит наличие в обслуживающей системе п клиентов на момент прибытия нового. Поскольку время обслуживания в системе распределено по экспоненциальному закону, который обладает свойством отсутствия последействия (раздел 17.3), величина / также распределена по экспоненциальному закону. Следовательно, г представляет собой сумму п + 1 независимых случайных величин, каждая из которых подчиняется одному и тому же экспоненциальному распределению. Как известно из теории вероятностей, в этом случае функция w(z\ п + 1) будет плотностью вероятности гамма-распределения с параметрами ри п + 1. Отсюда следует, что

Этот пункт можно пропустить без ущерба для понимания дальнейшего материала.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [ 213 ] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]