назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [ 211 ] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


211

W - средняя продолжительность пребывания клиента в очереди, с - среднее количество занятых средств обслуживания (сервисов).

Напомним, что система включает как очередь, так и средства обслуживания.

Покажем, как перечисленные функциональные характеристики получаются (прямо или косвенно) из вероятностей рп - вероятностей того, что в системе находится п клиентов. В частности, имеем следующее.

L,= Z(«-c)/>»-

Зависимость между Lt и Wt (а также между L? и Wq), известная в литературе по теории массового обслуживания как формула Литтла, имеет вид

L = X ,

в эфф S

q *рф q

Эти соотношения справедливы при достаточно общих условиях. Параметр А представляет собой эффективную интенсивность поступления клиентов в систему обслуживания. Он равен (исходной) интенсивности поступления клиентов Л, когда все прибывающие клиенты имеют возможность попасть в обслуживающую систему. Если же некоторые клиенты не имеют такой возможности по той причине, что она заполнена (например, заполненная автостоянка), то Дэфф < Л. Позже мы покажем, как вычисляется Л „.

эфф

Существует также прямая зависимость между величинами Ws и W . По определению

Средняя продолжительность ( Среднее время ") (Среднее время

пребывания в системе ) у пребывания в очереди) обслуживания j Математически это записывается в следующем виде

w, = w1 + -.

Теперь можно получить формулу, связывающую L„ и Lq, умножая обе части последнего соотношения на Л и используя формулу Литтла. В результате получаем

По определению разность между средним числом находящихся в системе клиентов Ls и средним числом клиентов в очереди Lq равна среднему количеству занятых узлов обслуживания с . Следовательно, имеем

c=L,-L =h+L.

Поэтому коэффициент использования узлов обслуживания вычисляется как отношение с/с .



Пример 17.6.1

Автостоянка для посетителей колледжа имеет всего пять мест. Автомобили прибывают на стоянку в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью шесть автомобилей в час. Время пребывания автомобилей на стоянке является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним 30 мин. Посетители, которые не могут найти свободного места на стоянке непосредственно по прибытии, могут временно ожидать освобождения места на территории стоянки. Таких мест для ожидания на стоянке имеется три. Если и стоянка, и все места для ожидания заполнены, то прибывшие автомобили вынуждены искать другую автостоянку. Требуется определить следующее:

а) вероятностьрп того, что в системе находится п автомобилей,

б) эффективную интенсивность поступления автомобилей на стоянку,

в) среднее количество автомобилей на стоянке,

г) среднее время нахождения автомобиля в очереди на территории стоянки,

д) среднее количество занятых мест на автостоянке.

Прежде всего, заметим, что место для стоянки в рассматриваемой ситуации выступает в роли сервиса, так что система имеет всего с = 5 средств обслуживания. Максимальная вместимость системы равна 5 + 3 = 8 автомобилей.

Вероятность рп может быть определена как частный случай из общей модели, рассмотренной в разделе 17.5. Например, имеем

А„ = 6 автомобилей в час, п = 0, 1, 2, 8,

f60N

« - \ = 2п автомобилей в час, п -

1зо,

1, 2,

: 10 автомобилей в час, п = 6,7,8.

Следовательно, из соотношений, полученных в разделе 17.5, вычисляем

р„, и = 1, 2, ...,5,

-/V и = 6,7,8.

Значениер0 вычисляется путем подстановки значений длярп, п = 1, 2, 8, в уравнение р0 + рх + ... + р8 = 1. В результате получаем

•32 -j* I6 I1 Is Л

3 з2

6 7 8

Ро + Ail - + - + - + - + - +-г +-7 +-Г

1 1! 2! 3! 4! 5! 5!5 5!52 5!5

= 1.

Решением этого уравнения является р0 = 0,04812 (проверьте!). Найденное значение р0 позволяет вычислить все вероятности отр, до ps.

0,14436

0,21654

0,21654

0,16240

0,09744

0,05847

0,03508

0,02105



Эффективную интенсивность поступления автомобилей на стоянку Яэфф можно вычислить с использованием принципиальной схемы (рис. 17.5), в соответствии с которой клиенты из источника поступают с интенсивностью Я. Прибывающий автомобиль может поступить на стоянку с интенсивностью Л или уехать в поисках другой стоянки с интенсивностью Я , „, т.е. Я = + Я . Автомобиль

"г./ потери7 эфф потери

не может въехать на стоянку, если там уже имеется 8 автомобилей. Это значит, что часть автомобилей, которые не смогут попасть на стоянку, пропорциональна р8. Следовательно,

Я я = Ярг = 6 х 0,02105 = 0,1263 автомобилей в час,

Лфф = Апотери = 6-0,1263 = 5,8737 автомобилей в час.

Среднее количество автомобилей на стоянке (тех, которые занимают места стоянки, и тех, которые ожидают места) определяется значением Ls - средним числом клиентов в системе. Значение/ определяется черезр„ следующим образом.

Ls = 0р0 + 1р, + ... + 8pg = 3,1286 автомобилей.

Лэфф

Система

\ *

потери

Источник

Рис. 17.5. Соотношение между различными показателями интенсивности

Автомобиль, ожидающий, пока освободится место для стоянки, фактически находится в очереди. Следовательно, время его ожидания равно величине Wq. Для вычисления Wq используем определение

w4=w,--.

Так как

w k = ЗЛ286 = 65 *,фф 5,8737

W =0,53265- -= 0,03265 часа. ч 2

Среднее количество занятых мест на автостоянке равно среднему значению "занятых сервисов" и поэтому вычисляется следующим образом.

с = L, - L = Ьй. = ЬЕЕ = 2,9368 мест. и 2

Отсюда получаем, что коэффициент использования мест на стоянке равен

19368 = 0,58736.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [ 211 ] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]