c) Среднее количество используемых бильярдных столов.
d) Среднее число пар, ожидающих освобождения бильярдного стола.
6. Парикмахерская в любой момент времени может обслужить только одного клиента. Имеется также три места для ожидающих клиентов. Это значит, что в парикмахерской одновременно не могут находиться более четырех человек. Клиенты приходят в соответствии с распределением Пуассона со средним значением 4 человека в час. Время обслуживания является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 15 мин. Определите следующие величины.
a) Вероятности установившегося режима.
b) Ожидаемое число клиентов в парикмахерской.
c) Вероятность того, что клиент уйдет в поисках другой парикмахерской, поскольку все места заняты.
7. Рассмотрите систему обслуживания с одним сервисом, в которой интенсивности входного и выходного потоков имеют следующий вид.
Лп = 10- п, п = 0, 1, 2, 3,
ц„=-+5, и = 1,2,3,4. "2
Эта ситуация эквивалентна снижению интенсивности входного потока и увеличению интенсивности выходного потока при увеличении числа п клиентов в системе.
a) Постройте диаграмму переходов и уравнение баланса для описанной ситуации.
b) Определите вероятности установившегося режима.
8. Рассмотрите простую систему обслуживания, когда в ней может находиться лишь один клиент. Прибывающие клиенты, которые застают систему занятой, покидают ее и больше к ее услугам не обращаются. Пусть поступления клиентов происходят в соответствии с распределением Пуассона со средним Л человек в единицу времени, а время обслуживания является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним 1 / временных единиц.
a) Постройте диаграмму переходов и уравнения баланса.
b) Определите вероятности установившегося режима.
c) Определите среднее число клиентов в системе.
9. Процедура получения общего решения для системы обслуживания общего вида с использованием метода индукции выполняется следующим образом. Рассмотрим соотношения
X, *
р0, к = и,и-1,
Чтобы получить искомое выражение для рп, следует подставить выражения длярп 1 ирп 2 в общее разностное уравнение, включающееpn, рп1 ирп г Проверьте корректность этой процедуры.
17.6. СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ С ПУАССОНОВСКИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ
На рис. 17.4 схематически представлена специализированная система обслуживания пуассоновского типа, в которой параллельно функционируют с идентичных сервисов (средств обслуживания). Ожидающий клиент выбирается из очереди для обслуживания на первом свободном сервисе. Интенсивность поступления клиентов в систему равна Я клиентов в единицу времени. Все параллельные сервисы являются идентичными; это означает, что интенсивность обслуживания каждого сервиса равна ц клиентов в единицу времени. Число клиентов, находящихся в системе обслуживания, включает тех, кто уже обслуживается, и тех, кто находится в очереди.
Обозначения, наиболее подходящие для характеристик системы обслуживания (рис. 17.4), имеют следующую структуру:
а - тип распределения моментов времени поступления клиентов в систему,
Ь - тип распределения времени между появлением элементов выходного потока (времени обслуживания),
с - количество параллельно работающих сервисов (= 1, 2, со),
d - дисциплина очереди,
е - максимальная емкость (конечная или бесконечная) системы (количество клиентов в очереди плюс число клиентов, принятых на обслуживание),
/ - емкость (конечная или бесконечная) источника, генерирующего клиентов.
Рис. 17.4. Система обслуживания с несколькими сервисами
Стандартными обозначениями для типов распределений входного и выходного потоков (символы а и Ь) являются следующие.
М- марковское (или пуассоновское) распределение моментов поступления клиентов в систему либо их выхода из нее (или эквивалентное экспоненциальное
(a/b/c):(d/e/f),
- Система обслуживания Очередь-«4*- 01
Средства {*- обслуживания -*
Входной поток с интенсивностью Я
Выходной поток с интенсивностью ц
распределение интервалов времени между моментами последовательных поступлений или продолжительностей обслуживания клиентов),
D - детерминированный (фиксированный) интервал времени между моментами последовательных поступлений в систему клиентов (или детерминированная (фиксированная) продолжительность обслуживания клиентов),
Ек - распределение Эрланга, или гамма-распределение интервалов времени (или, что то же самое, распределение суммы независимых случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение),
GI - произвольный (общий) тип распределения моментов поступления клиентов на обслуживание,
G - произвольный (общий) тип распределения продолжительности обслуживания клиентов.
Для дисциплины очереди (символ d) используются следующие обозначения.
PCFS - первым пришел - первым обслуживаешься,
LCFS - последним пришел - первым обслуживаешься,
SIRO - случайный отбор клиентов,
GD - произвольный (общий) тип дисциплины.
Для иллюстрации рассмотрим структуру системы обслуживания, которая соответствует модели (М / D 110): (GD / N / оо). В соответствии с принятыми обозначениями здесь речь идет о системе (и, соответственно, модели) массового обслуживания с пуассоновским входным потоком (или экспоненциальным распределением интервалов времени между моментами последовательных поступлений клиентов), фиксированным временем обслуживания и десятью параллельно функционирующими сервисами. При этом дисциплина очереди не регламентирована, и максимальное количество допускаемых в систему клиентов равно N. Наконец, источник, "порождающий клиентов", имеет неограниченную емкость.
В качестве исторической справки заметим, что первые три элемента (а / Ь / с) рассмотренного обозначения были введены Кендаллом (D. G. Kendall) в 1953 году, и в литературе по теории массового обслуживания они фигурируют как обозначения Кеидалла. Позднее в 1966 году Ли (А. М. Lee) добавил к ним символы d и е. Автором этой книги в 1968 году был введен последний символ принятых обозначений - /.
Перед детальным рассмотрением системы обслуживания пуассоновского типа покажем, как с помощью полученных в разделе 17.5 вероятностей рп, соответствующих стационарному режиму, можно получить функциональные характеристики системы.
17.6.1. Функциональные характеристики стационарных систем обслуживания
Основными функциональными характеристиками систем массового обслуживания являются следующие.
Lt - среднее число находящихся в системе клиентов,
Lq - среднее число клиентов в очереди,
W3 - средняя продолжительность пребывания клиента в системе,