назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [ 210 ] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


210

c) Среднее количество используемых бильярдных столов.

d) Среднее число пар, ожидающих освобождения бильярдного стола.

6. Парикмахерская в любой момент времени может обслужить только одного клиента. Имеется также три места для ожидающих клиентов. Это значит, что в парикмахерской одновременно не могут находиться более четырех человек. Клиенты приходят в соответствии с распределением Пуассона со средним значением 4 человека в час. Время обслуживания является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 15 мин. Определите следующие величины.

a) Вероятности установившегося режима.

b) Ожидаемое число клиентов в парикмахерской.

c) Вероятность того, что клиент уйдет в поисках другой парикмахерской, поскольку все места заняты.

7. Рассмотрите систему обслуживания с одним сервисом, в которой интенсивности входного и выходного потоков имеют следующий вид.

Лп = 10- п, п = 0, 1, 2, 3,

ц„=-+5, и = 1,2,3,4. "2

Эта ситуация эквивалентна снижению интенсивности входного потока и увеличению интенсивности выходного потока при увеличении числа п клиентов в системе.

a) Постройте диаграмму переходов и уравнение баланса для описанной ситуации.

b) Определите вероятности установившегося режима.

8. Рассмотрите простую систему обслуживания, когда в ней может находиться лишь один клиент. Прибывающие клиенты, которые застают систему занятой, покидают ее и больше к ее услугам не обращаются. Пусть поступления клиентов происходят в соответствии с распределением Пуассона со средним Л человек в единицу времени, а время обслуживания является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним 1 / временных единиц.

a) Постройте диаграмму переходов и уравнения баланса.

b) Определите вероятности установившегося режима.

c) Определите среднее число клиентов в системе.

9. Процедура получения общего решения для системы обслуживания общего вида с использованием метода индукции выполняется следующим образом. Рассмотрим соотношения

X, *

р0, к = и,и-1,

Чтобы получить искомое выражение для рп, следует подставить выражения длярп 1 ирп 2 в общее разностное уравнение, включающееpn, рп1 ирп г Проверьте корректность этой процедуры.



17.6. СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ С ПУАССОНОВСКИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ

На рис. 17.4 схематически представлена специализированная система обслуживания пуассоновского типа, в которой параллельно функционируют с идентичных сервисов (средств обслуживания). Ожидающий клиент выбирается из очереди для обслуживания на первом свободном сервисе. Интенсивность поступления клиентов в систему равна Я клиентов в единицу времени. Все параллельные сервисы являются идентичными; это означает, что интенсивность обслуживания каждого сервиса равна ц клиентов в единицу времени. Число клиентов, находящихся в системе обслуживания, включает тех, кто уже обслуживается, и тех, кто находится в очереди.

Обозначения, наиболее подходящие для характеристик системы обслуживания (рис. 17.4), имеют следующую структуру:

а - тип распределения моментов времени поступления клиентов в систему,

Ь - тип распределения времени между появлением элементов выходного потока (времени обслуживания),

с - количество параллельно работающих сервисов (= 1, 2, со),

d - дисциплина очереди,

е - максимальная емкость (конечная или бесконечная) системы (количество клиентов в очереди плюс число клиентов, принятых на обслуживание),

/ - емкость (конечная или бесконечная) источника, генерирующего клиентов.

Рис. 17.4. Система обслуживания с несколькими сервисами

Стандартными обозначениями для типов распределений входного и выходного потоков (символы а и Ь) являются следующие.

М- марковское (или пуассоновское) распределение моментов поступления клиентов в систему либо их выхода из нее (или эквивалентное экспоненциальное

(a/b/c):(d/e/f),

- Система обслуживания Очередь-«4*- 01

Средства {*- обслуживания -*

Входной поток с интенсивностью Я

Выходной поток с интенсивностью ц



распределение интервалов времени между моментами последовательных поступлений или продолжительностей обслуживания клиентов),

D - детерминированный (фиксированный) интервал времени между моментами последовательных поступлений в систему клиентов (или детерминированная (фиксированная) продолжительность обслуживания клиентов),

Ек - распределение Эрланга, или гамма-распределение интервалов времени (или, что то же самое, распределение суммы независимых случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение),

GI - произвольный (общий) тип распределения моментов поступления клиентов на обслуживание,

G - произвольный (общий) тип распределения продолжительности обслуживания клиентов.

Для дисциплины очереди (символ d) используются следующие обозначения.

PCFS - первым пришел - первым обслуживаешься,

LCFS - последним пришел - первым обслуживаешься,

SIRO - случайный отбор клиентов,

GD - произвольный (общий) тип дисциплины.

Для иллюстрации рассмотрим структуру системы обслуживания, которая соответствует модели (М / D 110): (GD / N / оо). В соответствии с принятыми обозначениями здесь речь идет о системе (и, соответственно, модели) массового обслуживания с пуассоновским входным потоком (или экспоненциальным распределением интервалов времени между моментами последовательных поступлений клиентов), фиксированным временем обслуживания и десятью параллельно функционирующими сервисами. При этом дисциплина очереди не регламентирована, и максимальное количество допускаемых в систему клиентов равно N. Наконец, источник, "порождающий клиентов", имеет неограниченную емкость.

В качестве исторической справки заметим, что первые три элемента (а / Ь / с) рассмотренного обозначения были введены Кендаллом (D. G. Kendall) в 1953 году, и в литературе по теории массового обслуживания они фигурируют как обозначения Кеидалла. Позднее в 1966 году Ли (А. М. Lee) добавил к ним символы d и е. Автором этой книги в 1968 году был введен последний символ принятых обозначений - /.

Перед детальным рассмотрением системы обслуживания пуассоновского типа покажем, как с помощью полученных в разделе 17.5 вероятностей рп, соответствующих стационарному режиму, можно получить функциональные характеристики системы.

17.6.1. Функциональные характеристики стационарных систем обслуживания

Основными функциональными характеристиками систем массового обслуживания являются следующие.

Lt - среднее число находящихся в системе клиентов,

Lq - среднее число клиентов в очереди,

W3 - средняя продолжительность пребывания клиента в системе,

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [ 210 ] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]