назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [ 209 ] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


209

Уравнения баланса решаются рекуррентно, последовательно выражая вероятности р, черезр0 следующим образом: для п = 0 имеем

Для п = 1 получаем

Подставляя сюда pt = (A0 /i)p0 и упрощая полученное выражение, имеем (проверьте!)

Рг

Методом индукции можно показать, что

V м„р„.,-р, ;

Значение р0 определяется из уравнения * 0/?„ =

р0, л = 1, 2,...

Пример 17.5.1

Бакалейный магазин работает с тремя кассами. Вывеска возле касс извещает покупателей, что в любой момент будет открыта дополнительная касса, как только число покупателей в любой очереди превысит 3. Это означает, что если число покупателей меньше четырех, то работать будет лишь одна касса. Если число покупателей от четырех до шести, то будет работать две кассы. Если имеется больше шести покупателей, будут открыты все три кассы. Покупатели подходят к кассам в соответствии с распределением Пуассона с математическим ожиданием 10 человек в час. Время обслуживания одного покупателя в кассе распределено по экспоненциальному закону со средним 12 минут. Определим в установившемся режиме вероятность р„, что п покупателей стоят в очереди в кассу.

Из формулировки задачи имеем следующее.

Яп - Л = 10 покупателей в час, п = 0, 1,

yj = 5 покупателей в час, и = 0,1,2,3,

2x5 = 10 покупателей в час, и = 4,5,6, 3x5 = 15 покупателей в час, и = 7,8, ...

Следовательно,



Pi :

A=hT

Ро =8р0,

Ро = 8Р0, О

77 I а-

Р„, « = 7,8, ...

Значение р0 определяется из уравнения

Ро+Ро

или, что равносильно,

2 + 4 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8I - + !

Ро 31 + 8

..ij.f-

= 1.

Используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии

i«0 1-Л

получаем следующее.

31 + 8

Следовательно,р0= 1/35.

Зная р0, можно определить любую вероятность, имеющую отношение к задаче. Например, вероятность того, что будет работать лишь одна касса, вычисляется как вероятность нахождения в системе не больше трех клиентов, т.е.

Ро + Р, +Р2 +Рз = (1 + 2 + 4 + 8X1/35) * 0,273. Здесь предполагается, что в бакалейном магазине будет открыта как минимум одна касса, даже в том случае, когда вовсе нет покупателей.

Вероятности рп можно использовать для определения численных значений функциональных характеристик рассматриваемой системы. Например, среднее количество неработающих касс равно

Зр0 + 2(р, +р2 +Рз) + 1(р4 +Рь +р6) + 0(р7 +р8 + ...) = 1 касса.

УПРАЖНЕНИЯ 17.5

1. В примере 17.5.1 определите следующие характеристики системы.

a) Распределение вероятностей количества работающих касс.

b) Среднее количество неработающих касс.



2. Пусть в задаче о бакалейном магазине из примера 17.5.1 время между подходом покупателей к кассам распределено по экспоненциальному закону со средним 5 мин., а время расчета одного покупателя в кассе распределено по такому же закону со средним 10 мин. Предположим далее, что будет установлена четвертая касса, и все кассы будут открываться при увеличении числа покупателей на два. Требуется определить следующие величины.

a) Вероятности рп установившегося режима для всех п.

b) Вероятность того, что четвертая касса будет открыта.

c) Среднее количество неработающих касс.

3. Пусть в задаче о бакалейном магазине из примера 17.5.1 три кассы всегда открыты, и обслуживание организовано так, что покупатель будет подходить к первой свободной кассе. Определите следующие величины.

a) Вероятность того, что покупатели будут у всех трех касс.

b) Вероятность того, что подошедший к кассам покупатель не будет ожидать обслуживания.

4. Банк имеет один пункт, где клиенты могут воспользоваться банковским автоматом, не выходя из автомобиля. Автомобили прибывают в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 12 автомобилей в час. Время, необходимое для обслуживания клиента банкоматом, распределено по экспоненциальному закону со средним, равным 6 мин. Максимальная вместимость полосы обслуживания банкоматом составляет 10 автомобилей. При заполненной полосе прибывающие клиенты должны обратиться к другому банку. Определите следующие величины.

a) Вероятность того, что прибывающий клиент не сможет воспользоваться услугами банковского автомата из-за того, что полоса обслуживания будет заполнена.

b) Вероятность того, что прибывающий клиент не сможет воспользоваться услугами банковского автомата без ожидания.

c) Среднее количество автомобилей в полосе обслуживания.

5. Вы слышали когда-либо, чтобы кто-то повторял противоречивое заявление: "Это место настолько переполнено, что больше туда никто не ходит"? Это утверждение можно интерпретировать в том смысле, что возможность отказа от обслуживания возрастает с ростом числа клиентов, которые нуждаются в обслуживании. Возможной основой для моделирования этой ситуации является утверждение о том, что интенсивность входного потока клиентов уменьшается, если число клиентов в системе возрастает. Для конкретности рассмотрим упрощенную модель бильярдного клуба, куда посетители обычно приходят парами для игры в бильярд. Нормальная интенсивность прихода клиентов равна шести парам в час. Однако если число пар в бильярдном клубе превышает восемь, интенсивность поступления клиентов уменьшается до 5 пар в час. Предполагается, что входной поток подчиняется распределению Пуассона. Время игры каждой пары является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 30 мин. Бильярдный клуб имеет в своем распоряжении 5 бильярдных столов и одновременно может расположить не более 12 пар. Определите следующие величины.

a) Вероятность того, что клиенты начнут отказываться от сервиса.

b) Вероятность того, что все бильярдные столы заняты.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [ 209 ] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]