назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [ 207 ] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


207

Title: Example 17.4-1 Scenario 1: Pure Birth Model

Lambda = 5 00000 Lambda eff =

Ls = Ws =

5,00000

Mu = Rho/c =

Lq = Wq =

0 00000

Probability, pn

Cumulative, Pn

Probability, pn

Cumulative, Pn

0,00674

0,00674

0,03627

0,96817

0 03369

0,04043

0,01813

0.98630

0,08422

0,12465

0,00824

0,99455

0,14037

0,26503

0,00343

0,99798

0,17547

0.44049

0.00132

0,99930

0.17547

0,61596

0,00047

0,99977

0.14622

0,76218

0,00016

0.99993

0,10444

0,86663

0,00005

0,99998

0.06528

0.93191

0,00001

0.99999

M7M7cK5D/N/K Oueueing Model

Input Data (to enter an infinite value, type i or infinity):

0

Sys. Llm.. N=

infinity

Source limit. К »

infinity

Output Results (Pur* Birth Model):

infinit-

I к*?

Lo =

Ws =

1-CPn

00D6737947D

0 0067379470

09932620530

00336897350

0 0404276820

D95957231 BO

0 0842243375

01246520195

08753479B05

014037Э8958

0 2650259153

0 7349740847

01754673698

D 4404932851

D.5595D67149

01754673698

0 6159606548

0 3840393452

01462228061

0 7621B34630

0.2378165370

0104444B630

0 8666283259

0.1333716741

0 0652780393

0 9319063653

0 0680936347

0 0362655774

0 9681719427

0D31B280573

0 01B1327887

0 9863047314

0 0136952686

0 00B2421767

0 9945469081

0 0054530919

0 0034342403

0 9979811464

0 0D2D188516

Рис. 17.2. Вычисление в TORA и Excel вероятностей из примера 17.4.1

3. В систему обслуживания банка заявки на обслуживание поступают с интенсивностью 2 заявки в минуту. Требуется определить следующие параметры.

a) Среднее число заявок на протяжении пяти минут.

b) Вероятность того, что в течение 0,5 минуты не поступит ни одной заявки.

c) Вероятность того, что по крайней мере одна заявка поступит в течение следующих 0,5 минуты.

d) Вероятность того, что промежуток времени между двумя последовательными поступлениями заявок на обслуживание равен по меньшей мере трем минутам.



4. Время между прибытиями посетителей в ресторан распределено по экспоненциальному закону со средним значением 5 минут. Ресторан открывается в 11:00. Требуется вычислить следующее.

a) Вероятность того, что в 11:12 в ресторане окажется 10 посетителей при условии, что в 11:05 в ресторане было 8 посетителей.

b) Вероятность того, что новый посетитель прибудет в ресторан в интервале между 11:28 и 11:33, если известно, что предыдущий посетитель прибыл в ресторан в 11:25.

5. Заказанные публичной библиотекой книги поступают в соответствии с пуассоновским распределением со средним значением 25 книг в день. На каждой полке в хранилищах можно разместить 100 книг. Требуется вычислить следующее.

a) Среднее количество полок, ежемесячно заполняемых новыми книгами.

b) Вероятность того, что ежемесячно для размещения поступающих книг потребуется более 10 книжных шкафов, если известно, что каждый книжный шкаф состоит из пяти полок.

6. В университетском городке функционируют две автобусные линии: красная и зеленая. Красная обслуживает северную часть городка, зеленая - южную. Автобусные линии связаны пересадочной станцией. Автобусы зеленой линии на пересадочную станцию прибывают в соответствии с распределением Пуассона в среднем каждые 10 мин. Аналогичный показатель для автобусов красной линии равен 7 мин.

a) Какова вероятность того, что оба автобуса остановятся на пересадочной станции на протяжении пятиминутного интервала?

b) У студента, чье общежитие находится рядом с пересадочной станцией, через 10 мин. лекция. Любой автобус доставит студента к учебному зданию. Поездка занимает 5 мин., затем студент должен около 3 мин. идти пешком к учебному зданию. Какова вероятность того, что студент вовремя придет на лекцию?

7. Докажите, что среднее и дисперсия распределения Пуассона на интервале t равны At, где А - интенсивность поступления заявок.

8. Получите распределение Пуассона из разностно-дифференциальных уравнений модели чистого рождения. Совет. Решением дифференциального уравнения

17.4.2. Модель чистой гибели

В данной модели предполагается, что система начинает функционировать, когда в момент времени 0 в ней имеется N клиентов и не допускается ни одного нового поступления клиента. Обслуженные клиенты выбывают из системы с интенсивностью клиентов в единицу времени. Пусть pn(t) - вероятность того, что после t временных единиц в системе остается п клиентов. Для получения разностно-дифференциальных уравнений относительно pn(t) обычно следуют логике рассуждений, использованных в модели чистого рождения (раздел 17.4.1). Поэтому имеем

у +a(t)y = b(t)

является функция



р„(г + Л) = (0(1-/Ж),

pjit + ft) =р„(0(1 - /Л) +р.+1(0/Л, 0 < п < N,

Po(t + h)=Po(t)(l)+Pl(t)Mh.

При h -► ? получим

(0 = -№*()> pU) = -w.(0 + w.-i()- о<"<,

p;()=w»,(0-

Эти уравнения имеют решение

(N-n)l

л(0 = »-Ел(0.

которое называется усеченным распределением Пуассона.

Пример 17.4.2

Секция цветов бакалейно-гастрономического магазина складирует 18 дюжин роз в начале каждой недели. В среднем продается 3 дюжины роз в день (за один раз продается дюжина роз), но действительный спрос подчиняется распределению Пуассона. Как только уровень запаса снижается до 5 дюжин, делается новый заказ на поставку 18 дюжин роз в начале следующей недели. Запасы по своей природе таковы, что все неиспользованные до конца недели розы приходят в негодность и ликвидируются. Требуется вычислить следующие параметры системы.

1. Вероятность размещения заказа к концу каждого дня недели.

2. Среднее количество роз, которые будут ликвидированы к концу недели.

Так как розы покупаются с интенсивностью = 3 дюжины в день, то вероятность того, что заказ будет размещен в конце дня t, равна

s (3fy8"V3

P»<5«=Po()+Pl(0+--+/>5(0=M)+ -ЧГ =12 -7-

С помощью программы TORA получим следующие результаты расчетов (файл chl 7ToraQueuesExl 7-4-2.txt).

t (дни)

Pnsa(t)

0,0000

0,0088

0,1242

0,4240

0,7324

0,9083

0,9755

Среднее количество роз, которые будут ликвидированы к концу недели (t = 7), вычисляется (с использованием программы TORA) следующим образом.

M[n\t = 7} = лр„(7) = 0,664 дюжины.

л»0

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [ 207 ] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]