назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [ 206 ] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


206

17.4. МОДЕЛИ РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ (СВЯЗЬ МЕЖДУ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ И ПУАССОНОВСКИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ)

В данном разделе рассматриваются две модели обслуживающих систем: в первой представлены только поступления клиентов (модель чистого рождения), во второй - только выход клиентов из системы (модель чистой гибели). Примером модели чистого рождения является процесс оформления свидетельств о рождении детей. В качестве модели чистой гибели может служить случайное изъятие хранящихся на складе запасов.

Данные модели строятся на основе экспоненциального распределения, которое задает интервал времени между рождениями или гибелью. Побочным продуктом этих построений является демонстрация тесной связи между экспоненциальным распределением и распределением Пуассона в том смысле, что одно из них автоматически определяет другое.

17.4.1. Модель чистого рождения

Пусть p0(t) - вероятность отсутствия событий (поступления клиентов) за период времени t. При условии, что длина интервала времени Т между поступлениями клиентов описывается экспоненциальным распределением с интенсивностью Я, будем иметь

p0(t) = Р{интервал времени Т > t} = 1 - Р{интервал времени Т < t} =

Экспоненциальное распределение базируется на предположении, что на достаточно малом временном интервале h > 0 может наступить не более одного события (поступления клиента). Следовательно, при h -> О

Этот результат показывает, что вероятность поступления клиента на протяжении интервала h прямо пропорциональна h с коэффициентом пропорциональности, равным интенсивности поступлений Я.

Чтобы получить распределение числа клиентов, поступивших на протяжении некоторого интервала времени, обозначим через pn(t) вероятность поступления п клиентов на протяжении времени t. При достаточно малом h > 0 имеем следующее.

Из первого уравнения следует, что поступление п клиентов на протяжении времени t + h возможно в двух случаях: если имеется п поступлений на протяжении времени t и нет поступлений за время h, или существует п - 1 поступлений за время t и одно поступление за время h. Любые другие комбинации невозможны вследствие того, что на протяжении малого периода h возможно наступление только одного события. В соответствии с условием независимости событий к правой части уравнения

р1(Л)=1-р0(Л)«ЯЛ.

Pn(t + h)- Щ +Pn l(t)Ah, п>0, p0(t + h)*p0(tXl-Mi), п-0.



применим закон умножения вероятностей. Во втором уравнении отсутствие поступлений клиентов на протяжении интервала t + h возможно лишь тогда, когда нет поступлений клиентов за время Л.

Перегруппировывая члены и переходя к пределу при h -► 0, получаем следующее.

.(0-й8л(<+*л(/)=(0-.(0. «>°.

где (/) - производная по t функции р„(г).

Решение приведенных выше разностно-дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

рп(1) = {--, « = 0,1,2,...

В данном случае мы получили дискретную плотность вероятности распределения Пуассона с математическим ожиданием М{п \ t} = At поступлений за время t. Дисперсия распределения Пуассона также равна At.

Полученный результат означает, что всякий раз, когда временные интервалы между моментами последовательных поступлений заявок распределены по экпо-ненциальному закону с математическим ожиданием 1/Я, число поступлений заявок в интервале, равном t единиц времени, характеризуется распределением Пуассона с математическим ожиданием Xt. Верным является и обратное утверждение.

Соответствие между экспоненциальным распределением (с интенсивностью поступлений Я) и распределением Пуассона показано в следующей таблице.

Экспоненциальное Распределение

распределение Пуассона

Случайная переменная

Время t между наступлениями событий

Количество п наступлений событий в течение заданного периода времени Г

Значение случайной величины

f>0

л = 0,1,2,...

Функция плотности вероятности

r\t) = Xe-AI, t>0

„.(О-М"" « = 0,1,2,... и!

Среднее значение (математическое ожидание)

Ш временных единиц

ЯТв течение времени Т

Функция распределения

P{t < А} = 1 - eM

Pkn{T) = ро(7) + pi(7) + ... + Pn(7)

Вероятность, что не произойдет ни одного события в течение времени А

P{t>A} = e-AA

ро(А) = e~*

Пример 17.4.1

В небольшом штате каждые 12 минут рождается ребенок. Время между рождениями распределено по экспоненциальному закону. Требуется определить следующее.



1. Среднее число рождений за год.

2. Вероятность того, что на протяжении одного дня не будет ни одного рождения.

3. Вероятность выдачи 50 свидетельств о рождении к концу третьего часа, если известно, что на протяжении последних двух часов было выдано 40 таких свидетельств.

, 24x60 ,™

Вычислим интенсивность рождении за день: Х = --- = 120 рождении за день.

Интенсивность рождений в штате за год равна At = 120 х 365 = 43800 рождений.

Вероятность того, что на протяжении одного дня не родится ни один ребенок, вычисляется с использованием пуассоновского распределения

, . (l20xl)Vl2,M

л(,) =-м-к0-

Для вычисления вероятности выдачи 50 свидетельств о рождении к концу третьего часа при условии, что на протяжении последних двух часов было выдано 40 таких свидетельств, заметим, что, поскольку распределение числа рождений является пуассоновским, искомая вероятность сводится к вероятности появления 10 (= 50 - 40) рождений за один (=3-2) час. Так как Я = 60/12 = 5 рождений за час, то

/ ч (5x1) -

Р.о0) = ----= 0,01813.

104 10!

Формулы для вычисления функциональных параметров систем обслуживания включают громоздкие вычисления, поэтому для их выполнения желательно использовать программное обеспечение TORA. На рис. 17.2 показаны выходные данные, полученные с помощью программы TORA, для модели чистого рождения с интенсивностью At = 5 х 1 = 5 рождений за день.

Аналогичные вычисления выполняет шаблон Excel chl7PoissonQueues.xls, также показанный на рис. 17.2.

УПРАЖНЕНИЯ 17.4.1

1. Пусть в примере 17.4.1 служащий, который вводит информацию из свидетельств о рождении в компьютер, обычно ожидает, пока не накопится по крайней мере пять сертификатов. Определите вероятность того, что служащий будет вводить новый пакет данных каждый час.

2. Коллекционер произведений искусства в среднем раз в месяц ездит на художественные аукционы. Каждая поездка точно гарантирует одну покупку. Время между поездками имеет экспоненциальное распределение. Определите следующие параметры.

a) Вероятность того, что коллекционер на протяжении трехмесячного периода не купит ни одного произведения искусства.

b) Вероятность того, что коллекционер приобретет не более восьми произведений искусства на протяжении года.

c) Вероятность того, что интервал между двумя последовательными поездками коллекционера превысит один месяц.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [ 206 ] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]