назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [ 205 ] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


205

Следовательно,

P{t>T + S\t>S} =

P{t>T + S,t>S} P{t>T + S} P{t>S} P{t>s}

Пример 17.3.1

При обслуживании сложного агрегата всегда существует запасной блок для немедленной замены в случае поломки. Время выхода из строя агрегата (или его запасного блока) является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону, и в среднем происходит каждые 40 минут. Оператор, обслуживающий агрегат, утверждает, что агрегат "имеет привычку" выходить из строя каждый вечер около 20:30. Проанализируем утверждение оператора.

Средняя интенсивность отказов агрегата равна Я= 60/40 = 1,5 отказа в час. Следовательно, плотность экспоненциального распределения времени отказа имеет вид

Что касается заявления оператора, то и без вычислений видно, что оно не может соответствовать действительности, так как не согласуется с тем, что время между отказами агрегата распределено по экспоненциальному закону и, следовательно, является случайным. Для подтверждения или опровержения заявления оператора нельзя использовать вероятность того, что отказ будет происходить в 20:30, так как вероятность такого события зависит от времени дня (относительно 20:30), когда зта вероятность вычисляется. Например, если вычисления выполняются в 20:20, то вероятность того, что утверждение оператора окажется справедливым этим вечером, равна

т.е. является очень малой. Если вычисления выполняются в 19:00, то вероятность того, что отказ будет иметь место в 20:30, возрастает примерно до 0,9 (проверьте!). Эти два крайних значения вероятности показывают, что достоверность утверждения оператора нельзя проанализировать на основе полученных вероятностей; в данной ситуации мы должны полагаться только на характеристики экспоненциального распределения (точнее, на его свойство отсутствия последействия).

1. Объясните связь между интенсивностью поступления заявок на обслуживание Я и средним временем между последовательными их поступлениями. В каких единицах измеряется каждая из этих величин?

2. В каждом из следующих случаев определите среднюю интенсивность (в час) поступлений заявок на обслуживание к и среднее время между их последовательными поступлениями.

a) Каждые 10 минут происходит одно поступление.

b) Каждые 6 минут происходит два поступления.

c) Число поступлений за 30 минут равно 10.

d) Средний интервал между последовательными поступлениями равен 0,5 часа.

УПРАЖНЕНИЯ 17.3



3. В каждом из следующих случаев определите среднюю (в час) интенсивность обслуживания и среднее время обслуживания.

a) Каждые 12 минут выполняется одно обслуживание.

b) Каждые 15 минут две обслуженные заявки покидают систему.

c) Число обслуженных клиентов за 30 минут равно 5.

d) Среднее время обслуживания равно 0,3 часа.

4. В примере 17.3.1 определите следующие показатели.

a) Среднее число отказов за неделю, если система обслуживания функционирует 7 дней в неделю по 24 часа в день.

b) Вероятность по крайней мере одного отказа за два часа.

c) Вероятность того, что следующий отказ не произойдет на протяжении трех часов.

d) Если после последнего отказа на протяжении трех часов других отказов не было, то какова вероятность того, что время между последовательными отказами системы равно по крайней мере 4 часа?

5. Время между последовательными поступлениями клиентов в Управление департамента государственных сборов распределено по экспоненциальному закону со средним значением 0,05 часа. Управление начинает работу в 8:00.

a) Определите плотность вероятности экспоненциального распределения, описывающего время между последовательными поступлениями клиентов.

b) Определите вероятность того, что до 8:15 в управлении клиентов не будет.

c) Сейчас 8:35. Последний клиент прибыл в управление в 8:26. Какова вероятность того, что следующий клиент прибудет до 8:38? Какова вероятность того, что следующего клиента не будет до 8:40?

d) Чему равно среднее число посетителей, которые прибудут в управление от 8:10 до 8:45?

6. Пусть время между отказами механизма распределено по экспоненциальному закону со средним 6 часов. Если механизм работал безотказно на протяжении последних трех часов, то какова вероятность того, что не будет отказа на протяжении следующего часа? Найдите также вероятность того, что на протяжении следующего получаса произойдет отказ.

7. Время между последовательными поступлениями клиентов в игротеку распределено по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 10 минут.

a) Какова интенсивность прихода клиентов в час?

b) Какова вероятность того, что на протяжении следующих 15 минут в игротеку не придет ни один клиент?

c) Какова вероятность того, что на протяжении следующих 20 минут в игротеку придет по крайней мере один клиент?

8. Помогите управляющему нового ресторана быстрого питания описать количественно процесс поступления посетителей, оценивая долю интервалов времени между их приходами, которые будут а) меньше двух минут, б) больше трех минут и в) от двух до трех минут. Интенсивность поступления посетителей в рестораны подобного типа равна 35 клиентов в час. Время между приходами последовательных посетителей распределено по экспоненциальному закону.



9. Официанты О, и 02 ресторана быстрого питания в ожидании посетителей заняты следующей игрой: если в течение одной минуты в ресторан не прибудет ни один посетитель, О, платит 2 цента 02, в противном случае 2 цента от 02 получает О,. Требуется вычислить средний выигрыш официанта О, за восьмичасовой период. Время между последовательными прибытиями посетителей распределено по экспоненциальному закону со средним значением 1,5 мин.

10. Пусть в предыдущей ситуации (упражнение 9) правила игры таковы, что официант О, платит 2 цента 02, если следующий посетитель прибывает через 1,5 мин. после предыдущего, а официант 02 платит такую же сумму О,, если очередной промежуток между последовательными прибытиями посетителей не превышает одной минуты. Если последовательные прибытия посетителей происходят в пределах от 1 до 1,5 мин., игра заканчивается вничью. Требуется вычислить средний выигрыш официанта Ог за восьмичасовой период.

11. Предположим, что в ситуации из упражнения 9 официант 02 платит 2 цента О,, если следующий посетитель прибывает после предыдущего в пределах 1 мин., и 3 цента, если это происходит в пределах от 1 до 1,5 мин. Официант 02 получает 5 центов от О,, если интервал между прибытиями следующего и предыдущего посетителей находится в пределах от 1,5 до 2 мин., и 6 центов, если это время больше 2 мин. Требуется вычислить средний выигрыш официанта Ог за восьмичасовой период.

12. Посетитель ресторана быстрого питания, который приходит в пределах четырехминутного интервала после предыдущего посетителя, обслуживается без очереди. Если же время между последовательными приходами посетителей составляет от 4 до 5 мин., время ожидания будет около 1 мин. Если же время между последовательными приходами посетителей больше 5 мин., время ожидания составляет около 2 мин. Время между последовательными приходами посетителей является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону со средним значением 6 мин.

a) Определите вероятность того, что прибывающий посетитель не будет ожидать в очереди.

b) Определите среднее время ожидания для прибывающего посетителя.

13. Известно, что время между отказами в работе холодильника является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону со средним значением 9000 часов (примерно один год эксплуатации), и производящая компания выдает на холодильник годичную гарантию. Какова вероятность того, что холодильник потребует ремонта во время гарантийного срока?

14. В университетском городке функционируют две автобусные линии: красная и зеленая. Красная обслуживает северную часть городка, зеленая - южную. Автобусные линии связаны пересадочной станцией. Время между прибытиями автобусов зеленой линии на пересадочную станцию является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону со средним значением 10 мин. Аналогичный показатель для автобусов красной линии равен 7 мин.

a) Найдите распределение времени ожидания студента, который прибывает по красной линии для пересадки на зеленую.

b) Найдите распределение времени ожидания студента, который прибывает по зеленой линии для пересадки на красную.

15. Докажите, что математическое ожидание и стандартное отклонение для экспоненциального распределения совпадают.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [ 205 ] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]