назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [ 201 ] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


201

ции- 4,50 долл. Стоимость единицы продукции равна 0,50 долл., стоимость размещения заказа - 25 долл. Необходимо определить оптимальную стратегию заказа продукции.

Определим сначала у . Имеем

р-с 4,5-0,5

= 0.8.

Так как

р + п 4,5 + 0,5

p{D<y}= \±-dD = ±

1 ho if

то 5 = у =8.

Ожидаемое значение функции затрат определяется следующим образом. M{C(y)} = 0.5(y-x) + 0.5j-l(y-D)rfD + 4,51}(D-y)rfD =

= 0,25у:-4у + 22,5-0.5*. Величина s определяется из уравнения

M{C(s)} = K + M{C(S)}.

Отсюда получаем

0,25s2 - 4s + 22,5 - 0,5* = 25 + 0,2552 - 45 + 22,5 - 0,5*. При 5 = 8 это уравнение сводится к виду

У-165 - 36 = 0.

Решением данного уравнения является s = -2 и 5=18. Значение 5 = 18 (превышающее 5) следует отбросить. Так как оставшееся значение является отрицательным (= -2), то 5 не имеет допустимого значения. Следовательно, оптимальной стратегией является отказ от размещения заказа (рис. 16.7). Такая ситуация обычно возникает тогда, когда функция затрат является "плоской" или когда затраты на размещение заказа превышают другие затраты модели.

М{С(е)}

Рис. 16.7. Оптимальная стратегия размещения заказа для примера 16.2.2



УПРАЖНЕНИЯ 16.2.2

1. Определите оптимальную стратегию управления запасами для ситуации, описанной в примере 16.2.2, если предположить, что стоимость размещения заказа составляет 5 долл.

2. Пусть в одноэтапной модели, рассмотренной в разделе 16.2.1, необходимо максимизировать прибыль, при этом следует учитывать стоимость размещения заказа К. Постройте формулу для ожидаемого значения прибыли и определите оптимальный объем заказа, используя при этом информацию из раздела 16.2.1 и предполагая, что стоимость продажи единицы продукции равна г. Решите задачу при следующих данных (все величины в долл.): г= 3, с = 2, р = 4, h = 1 w. К = 10. Плотность вероятности спроса является постоянной на интервале [0, 10].

3. Решите упражнение 16.2.1.5, предполагая, что доставка орехов связана с постоянными затратами в 10 долл.

16.3. МНОГОЭТАПНЫЕ МОДЕЛИ

В этом разделе рассматривается многоэтапная модель без учета стоимости размещения заказа. Кроме того, в модели предусматривается возможность задолженности и нулевое время поставки. Предполагается также, что спрос D в каждый период описывается стационарной (независящей от времени) плотностью вероятности /(£>).

В многоэтапной модели учитывается приведенная стоимость денег. Если or(< 1) - коэффициент дисконтирования (процент скидки) для одного этапа, то сумма А спустя п этапов будет эквивалентна сумме dA в настоящий момент.

Предположим, что планирование охватывает п этапов, и неудовлетворенный спрос может оставаться таковым лишь на протяжении одного этапа. Пусть Ft(xt) - максимальная суммарная ожидаемая прибыль для этапов от i до п, определенная при условии, что xt - уровень имеющегося запаса перед размещением заказа на t-м этапе.

Используя обозначения из раздела 16.2 и предполагая, что г- удельный доход от реализации единицы продукции, сформулируем задачу управления запасами в виде следующей задачи динамического программирования (см. главу 15).

F,(лс,) = тах{-с(у, -x,)+§ rD-h{yi-D)]f{D)dD +

0

+ )[ryi+ar(D-yi)-p{D~yi)]f(D)clD +

+ a\FM{yi-D)f{D)dD), i = 1.2.....л,

где F„+/(j/„ - D) = 0. Величина xt может принимать отрицательные значения, так как неудовлетворенный спрос может накапливаться. Величина ar(D - у) включена во второй интеграл, поскольку D- yt представляет собой неудовлетворенный спрос на t-м этапе, который должен быть удовлетворен на этапе i + 1.

Задачу можно решить рекуррентно методами динамического программирования. Если число этапов является бесконечным, приведенное выше рекуррентное уравнение сводится к следующему.



F(x) = ma.x[-c(y-x)+ § rD-h(y-D)]f(D)dD +

у Л О

+ \ry + ar{D-y)-p(D~y)]f(D)dD +

+ aJF(y-D)f(D)dD},

где х и у представляют собой уровни запаса на каждом этапе до и после получения заказа соответственно.

Оптимальное значение у можно определить из приведенного ниже необходимого условия, которое в данном случае есть также достаточным, так как функция ожидаемой прибыли F(x) является вогнутой.

= -c-h)f{D)dD + \{l-a)r+ P]f{D)dD + afF~Df(D)dD = 0.

Эу о V о ду

ZF(y-D)

Величина ---- определяется следующим образом. Если на начало следующего

этапа уровень запаса еще составляет /?(>0) единиц, то прибыль на этом этапе возрастает на величину cj3, так как объем последующего заказа уменьшается именно на эту величину. Это означает, что

dF(y-D)

Следовательно, необходимое условие принимает вид

у ( V \

-c-hjf(D)dD + [(l-a)r+p] \-\f{D)dD +oxjf{D)dD = 0.

о V о у о

Поэтому оптимальный уровень заказа у* определяется из уравнения

р + {\-а)(г-с)

\f{D)dD-.

p + h + (\-a)r

Оптимальная стратегия каждого этапа при заданном исходном запасе х выражается следующим правилом.

Если х < у*, делать заказ объемом у - х, если х>у, заказа не делать.

УПРАЖНЕНИЯ 16.3

1. Рассмотрим двухэтапную вероятностную модель управления запасами, в которой спрос накапливается, а заказы поступают с нулевым запаздыванием. Спрос в каждый период описывается постоянной плотностью вероятности на интервале от 0 до 10. Стоимостные параметры модели таковы: цена продажи единицы продукции - 2 долл., цена покупки единицы продукции - 1 долл., стоимость хранения единицы продукции - 0,10 долл., штраф за дефицит единицы продукции - 3 долл., коэффициент дисконтирования - 0,8.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [ 201 ] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]