Ситуация 2. Спрос D описывается дискретной плотностью распределения ДО). Сначала найдем функцию распределения Р{ D < у}.
Для вычисленного критического отношения 0,214 имеем неравенства
P{D < 200} < 0,214 < P{D < 220}. Отсюда следует, что у" = 220 экземпляров.
УПРАЖНЕНИЯ 16.2.1
1. Покажите, что для одноэтапной модели с дискретной величиной спроса оптимальный объем заказа определяется из соотношения
2. Спрос на продукцию в течение единственного периода удовлетворяется мгновенно в начале периода. Соответствующая плотность распределения вероятностей является экспоненциальной со средним 10 единиц. В силу сложности оценки стоимостных параметров объем заказа определяется таким образом, что вероятность либо излишка, либо дефицита не превышает 0,1. Можно ли удовлетворить оба условия одновременно?
3. В одноэтапной модели управления запасами стоимость закупки единицы продукции равна 10 долл., а стоимость ее хранения- 1долл. Найдите допустимую область значений удельных потерь от неудовлетворенного спроса в оптимальном случае, если объем заказа равен 4 единицы. Также предполагается, что спрос удовлетворяется мгновенно в начале периода, и что плотность распределения величины спроса представляется следующей таблицей.
4. Книжный магазин университета предлагает ксерокопии конспектов лекций университетских профессоров. Профессор Ятаха читает лекции первокурсникам; на первый курс принимается от 200 до 250 студентов, причем ожидаемое количество первокурсников подчиняется равномерному распределению. Изготовление каждой копии обходится в 10 долл., магазин продает их студентам по 25 долл. за копию. Студенты покупают конспекты в начале семестра. Каждая непроданная копия конспекта профессора Ятахи выставляется для продажи по частям. Между тем, если в магазине заканчиваются копии конспектов, дополнительные копии не печатаются, и студенты сами заботятся о том, чтобы достать конспекты из других источников. Сколько копий конспектов лекций следует напечатать магазину, если он заинтересован в максимизации своих доходов?
5. Магазин быстрого обслуживания предлагает посетителям кофе и орехи с шести часов утра каждый день. Магазин покупает орехи по 7 центов за порцию,
а продает по 25 центов за порцию до 8 часов утра. После этого времени орехи продаются по 5 центов за порцию. Число посетителей, которые ежедневно покупают орехи, является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале [30, 50]. Каждый посетитель обычно заказывает три порции орехов с кофе. Сколько примерно порций орехов следует закупать магазину каждое утро в целях максимизации своих доходов?
6. Магазин одежды создает запас теплых пальто для приближающейся зимы. Каждое пальто закупают по 50 долл., а продают со 100% -ной наценкой. В конце сезона проводится распродажа, и пальто реализуется по цене 55 долл. Спрос на пальто в течение зимнего сезона является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале от 20 до 30. Так как зимний сезон является коротким, затраты на хранение в расчет не принимаются. Управляющий магазина считает также, что не будет потерь, вызванных дефицитом товара. Определите оптимальный объем заказа, который максимизирует доходы магазина.
7. Пусть в рамках одноэтапной модели спрос в течение периода меняется равномерно (а не удовлетворяется мгновенно в начале периода). Разработайте соответствующую стоимостную модель и определите оптимальный объем заказа.
8. Решите задачу из примера 16.2.1, предположив, что спрос непрерывен и равномерен в течение периода; плотность вероятности спроса является постоянной на интервале от 0 до 100. (Совет. Воспользуйтесь результатами упражнения 7.)
16.2.2. Модель при наличии затрат на оформление заказа
Рассматриваемая модель отличается от представленной в предыдущем разделе тем, что учитывается стоимость К размещения заказа. Используя обозначения, введенные выше, получаем следующее выражение для суммарной ожидаемой стоимости.
Как показано в разделе 16.2.1, оптимальное значение у должно удовлетворять соотношению
Так как К является константой, минимум величины М{С(у)} также должен достигаться при у, как показано на рис. 16.6.
М[С(у)} = К + М{С(у) } = K + c(y-x) + h\(y-D)f(D)dD +p\(D- y)f(D)dD.
Заказывать
He заказывать
Рис. 16.6. Определение оптимальной величины заказа
На рис. 16.6 S = у и величина s (< S) определяются из уравнения
M{C(s)} = M{C(S)\=K + M{C(S)}, s<S.
(Отметим, что это уравнение имеет и другое решение st > S, которое не рассматривается.)
Задача формулируется следующим образом. Какое количество продукции необходимо заказывать, если наличный запас перед размещением заказа составляет х единиц? Ответ на этот вопрос рассматривается по отдельности при выполнении следующих условий.
1. x<s.
2. s<x<S.
3. x>S.
Ситуация 1 (х < s). Так как в наличии имеется х единиц продукции, соответствующие издержки содержания запаса составляют М{С(х)}. Если заказывается любое дополнительное количество продукции у - х (у > х), то соответствующие затраты при заданной величине у равны величине М{С(у)}, которая учитывает стоимость К размещения заказа. Из рис. 16.6 следует, что
min М {С(у)} = М {C(S)} < М {С(х)}.
Следовательно, оптимальной стратегией управления запасами в этом случае будет заказ bS - х единиц.
Ситуация 2 (s < х < S). Из рис. 16.6 видно, что
M{C(x)}<mmM{C(y)) = M{C(S)}.
Следовательно, в данном случае дополнительных затрат не возникает, если новый заказ не размещается. Поэтому у = х.
Ситуация 3 (х > S). Из рис. 16.6 видно, что при у > х
М{С(х)}<М{С(у)\.
Это неравенство показывает, что в данном случае экономнее будет не размещать заказ, т.е. у" = х.
Описанная стратегия управления запасами, часто именуемая (з-5)-стратегией, определяется следующим правилом.
Если х < s, делать заказ объемом S - х,
если х > s, заказывать не следует.
Оптимальность (я-5)-стратегии следует из того, что соответствующая функция затрат является выпуклой. Если это свойство не выполняется, данная стратегия перестает быть оптимальной.
Пример 16.2.2
Дневной спрос на продукцию в течение одного периода удовлетворяется мгновенно в начале периода. Спрос является случайной величиной, равномерно распределенной от 0 до 10 единиц. Стоимость хранения единицы продукции на протяжении периода равна 0,50 долл., а штраф за дефицит единицы продук-