УПРАЖНЕНИЯ 16.1.2
1. Для данных, приведенных в примере 16.1.2, определите следующее.
a) Приближенное число заказов в месяц.
b) Ожидаемое значение месячной стоимости размещения заказов.
c) Ожидаемое значение месячных затрат на хранение.
d) Ожидаемое значение месячных затрат, связанных с дефицитом.
e) Вероятность истощения запаса в течение периода выполнения заказа.
2. Решите задачу из примера 16.1.2, учитывая, что спрос в период выполнения заказа является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале [0, 50] (галлонов).
3. В задаче из примера 16.1.2 предположите, что спрос в период поставки является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале [40, 60] (галлонов). Сравните решение, полученное при этих условиях, с решением, полученным в примере 16.1.2, и интерпретируйте результаты. (Подсказка. В обеих задачах величина М{х) одинакова, но дисперсия в этой задаче меньше.)
4. Найдите оптимальное решение задачи из примера 16.1.2, если спрос в период поставки является нормально распределенной случайной величиной со средним 100 галлонов и стандартным отклонением 2 галлона. Предположите также, что D = 10000 галлонов в месяц, Л = 2 долл. за галлон в месяц, р = 4 долл. за галлон и К = 20 долл.
16.2. ОДНОЭТАПНЫЕ МОДЕЛИ
Одноэтапные модели управления запасами отражают ситуацию, когда для удовлетворения спроса в течение определенного периода продукция заказывается только один раз. Например, модный сезонный товар устаревает к концу сезона, и, следовательно, заказы на него могут не возобновляться. В данном разделе рассматривается два типа таких моделей: с учетом и без учета затрат на оформление заказов.
При изложении данного материала используются следующие обозначения.
с - стоимость закупки (или производства) единицы продукции,
К - стоимость размещения заказа,
h - удельные затраты на хранение единицы продукции в течение рассматриваемого периода,
р - удельные потери от неудовлетворенного спроса (на единицу продукции за рассматриваемый период),
D - величина случайного спроса за рассматриваемый период,
f(D) - плотность вероятности спроса за рассматриваемый период,
у - объем заказа,
х - наличный запас продукта перед размещением заказа.
Модель определяет оптимальный объем заказа у, который минимизирует суммарные ожидаемые затраты, связанные с закупкой (или производством), хранением и неудовлетворенным спросом. При известном оптимальном значении у (обозначается у) оптимальное управление запасами состоит в размещении заказа объемом у" - х, если х < у; в противном случае заказ не размещается.
16.2.1. Модель при отсутствии затрат на оформление заказа
В этой модели принято следующее.
1. Спрос удовлетворяется мгновенно в начале периода непосредственно после получения заказа.
2. Затраты на размещение заказа отсутствуют.
На рис. 16.5 иллюстрируется состояние запаса после удовлетворения спроса D. Если D <у, запас у-D хранится на протяжении периода. Если жеD> у, возникает дефицит объема D - у.
У ♦
D<y
±
D>y
-Время
Рис. 16.5. Состояние запаса в одноэтапной модели Ожидаемые затраты М{С(у)} на период выражаются следующей формулой.
М {С(у)} = с(у - х) + h )(у - D)f(D)dD + p](D - y)f{D)dD.
Можно показать, что функция М{С(у)} является выпуклой по у и, таким образом, имеет единственный минимум. Следовательно, вычисляя первую производную функции М{С(у)} по у и приравнивая ее к нулю, получим
c + h)f{D)dD-p]f(D)dD = 0
с + hP{D <у}+ р(1 - P{D < у}) = 0.
Отсюда имеем
P{D<y} =
Р-С p + h
Правая часть последней формулы известна как критическое отношение. Значение у определено только при условии, что критическое отношение неотрицательно, т.е. р>с. Ситуация, когда р <с, является бессмысленной, так как это предполагает, что стоимость закупки единицы продукции выше потери от неудовлетворенного спроса.
Ранее предполагалось, что спрос D является непрерывной случайной величиной. Если же D является дискретной величиной, то плотность распределения вероятностей /(£>) определена лишь в дискретных точках и функция затрат вычисляется в соответствии с формулой
M{C{y)} = c(y-x) + h(y~D)f(D) + p J (D-y)f(D).
Необходимыми условиями оптимальности служат неравенства М{С(у - 1)} > М{С(уу) и М{С(у + 1)} > М{С(у)}.
Эти условия в данном случае являются достаточными, так как функция М{С(у)} выпукла. Применение этих условий после некоторых алгебраических преобразований приводит к следующим неравенствам для определения у.
P{D <у - \)< <p{d< у}.
Пример 16.2.1
Владелец газетного киоска должен определить количество экземпляров газеты USA Now, которые должны быть в продаже в начале каждого дня. Он покупает экземпляр газеты за 30 центов, а продает за 75 центов. Продажа газеты обычно происходит с 7.00 до 8.00 часов утра. Оставшиеся к концу дня экземпляры газеты повторно выставляются для продажи по цене 5 центов за экземпляр. Сколько экземпляров газеты должен закупить владелец каждое утро, если дневной спрос описывается одним из следующих вероятностных распределений.
1. Нормальным распределением с математическим ожиданием 300 экземпляров и стандартным отклонением 20 экземпляров.
2. Дискретной плотностью распределения/), заданной в виде следующей таблицы.
Стоимости хранения и потери, обусловленные дефицитом, в этой ситуации не определены в явном виде. Однако данные задачи свидетельствуют о том, что каждый непроданный экземпляр газеты обходится владельцу в 30 - 5 = 25 центов, и что потери, связанные с истощением запаса газет, равны 75 - 30 = 45 центов за экземпляр. Следовательно, в терминах, принятых в модели управления запасами, мы можем предполагать, что с = 30 центов за экземпляр, И = 25 центов за экземпляр, р = 45 центов за экземпляр в день.
Сначала определяем критическое отношение
£ = = 0,2.4. р + п 45 + 25
Ситуация 1. Спрос D распределен по нормальному закону /V(300, 20). Определим стандартную нормально распределенную случайную величину (с законом распределения N(0, 1))
D-300
z =-.
Из таблицы стандартного нормального распределения находим (см. приложение В)
P{z< -0,79} = 0,214.
Тогда
= -0,79. 20
Следовательно, оптимальный объем заказа равен у = 284,2 (или примерно 284) экземпляров.