назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [ 199 ] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


199

УПРАЖНЕНИЯ 16.1.2

1. Для данных, приведенных в примере 16.1.2, определите следующее.

a) Приближенное число заказов в месяц.

b) Ожидаемое значение месячной стоимости размещения заказов.

c) Ожидаемое значение месячных затрат на хранение.

d) Ожидаемое значение месячных затрат, связанных с дефицитом.

e) Вероятность истощения запаса в течение периода выполнения заказа.

2. Решите задачу из примера 16.1.2, учитывая, что спрос в период выполнения заказа является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале [0, 50] (галлонов).

3. В задаче из примера 16.1.2 предположите, что спрос в период поставки является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале [40, 60] (галлонов). Сравните решение, полученное при этих условиях, с решением, полученным в примере 16.1.2, и интерпретируйте результаты. (Подсказка. В обеих задачах величина М{х) одинакова, но дисперсия в этой задаче меньше.)

4. Найдите оптимальное решение задачи из примера 16.1.2, если спрос в период поставки является нормально распределенной случайной величиной со средним 100 галлонов и стандартным отклонением 2 галлона. Предположите также, что D = 10000 галлонов в месяц, Л = 2 долл. за галлон в месяц, р = 4 долл. за галлон и К = 20 долл.

16.2. ОДНОЭТАПНЫЕ МОДЕЛИ

Одноэтапные модели управления запасами отражают ситуацию, когда для удовлетворения спроса в течение определенного периода продукция заказывается только один раз. Например, модный сезонный товар устаревает к концу сезона, и, следовательно, заказы на него могут не возобновляться. В данном разделе рассматривается два типа таких моделей: с учетом и без учета затрат на оформление заказов.

При изложении данного материала используются следующие обозначения.

с - стоимость закупки (или производства) единицы продукции,

К - стоимость размещения заказа,

h - удельные затраты на хранение единицы продукции в течение рассматриваемого периода,

р - удельные потери от неудовлетворенного спроса (на единицу продукции за рассматриваемый период),

D - величина случайного спроса за рассматриваемый период,

f(D) - плотность вероятности спроса за рассматриваемый период,

у - объем заказа,

х - наличный запас продукта перед размещением заказа.

Модель определяет оптимальный объем заказа у, который минимизирует суммарные ожидаемые затраты, связанные с закупкой (или производством), хранением и неудовлетворенным спросом. При известном оптимальном значении у (обозначается у) оптимальное управление запасами состоит в размещении заказа объемом у" - х, если х < у; в противном случае заказ не размещается.



16.2.1. Модель при отсутствии затрат на оформление заказа

В этой модели принято следующее.

1. Спрос удовлетворяется мгновенно в начале периода непосредственно после получения заказа.

2. Затраты на размещение заказа отсутствуют.

На рис. 16.5 иллюстрируется состояние запаса после удовлетворения спроса D. Если D <у, запас у-D хранится на протяжении периода. Если жеD> у, возникает дефицит объема D - у.

У ♦

D<y

±

D>y

-Время

Рис. 16.5. Состояние запаса в одноэтапной модели Ожидаемые затраты М{С(у)} на период выражаются следующей формулой.

М {С(у)} = с(у - х) + h )(у - D)f(D)dD + p](D - y)f{D)dD.

Можно показать, что функция М{С(у)} является выпуклой по у и, таким образом, имеет единственный минимум. Следовательно, вычисляя первую производную функции М{С(у)} по у и приравнивая ее к нулю, получим

c + h)f{D)dD-p]f(D)dD = 0

с + hP{D <у}+ р(1 - P{D < у}) = 0.

Отсюда имеем

P{D<y} =

Р-С p + h

Правая часть последней формулы известна как критическое отношение. Значение у определено только при условии, что критическое отношение неотрицательно, т.е. р>с. Ситуация, когда р <с, является бессмысленной, так как это предполагает, что стоимость закупки единицы продукции выше потери от неудовлетворенного спроса.

Ранее предполагалось, что спрос D является непрерывной случайной величиной. Если же D является дискретной величиной, то плотность распределения вероятностей /(£>) определена лишь в дискретных точках и функция затрат вычисляется в соответствии с формулой

M{C{y)} = c(y-x) + h(y~D)f(D) + p J (D-y)f(D).

Необходимыми условиями оптимальности служат неравенства М{С(у - 1)} > М{С(уу) и М{С(у + 1)} > М{С(у)}.



Эти условия в данном случае являются достаточными, так как функция М{С(у)} выпукла. Применение этих условий после некоторых алгебраических преобразований приводит к следующим неравенствам для определения у.

P{D <у - \)< <p{d< у}.

Пример 16.2.1

Владелец газетного киоска должен определить количество экземпляров газеты USA Now, которые должны быть в продаже в начале каждого дня. Он покупает экземпляр газеты за 30 центов, а продает за 75 центов. Продажа газеты обычно происходит с 7.00 до 8.00 часов утра. Оставшиеся к концу дня экземпляры газеты повторно выставляются для продажи по цене 5 центов за экземпляр. Сколько экземпляров газеты должен закупить владелец каждое утро, если дневной спрос описывается одним из следующих вероятностных распределений.

1. Нормальным распределением с математическим ожиданием 300 экземпляров и стандартным отклонением 20 экземпляров.

2. Дискретной плотностью распределения/), заданной в виде следующей таблицы.

Стоимости хранения и потери, обусловленные дефицитом, в этой ситуации не определены в явном виде. Однако данные задачи свидетельствуют о том, что каждый непроданный экземпляр газеты обходится владельцу в 30 - 5 = 25 центов, и что потери, связанные с истощением запаса газет, равны 75 - 30 = 45 центов за экземпляр. Следовательно, в терминах, принятых в модели управления запасами, мы можем предполагать, что с = 30 центов за экземпляр, И = 25 центов за экземпляр, р = 45 центов за экземпляр в день.

Сначала определяем критическое отношение

£ = = 0,2.4. р + п 45 + 25

Ситуация 1. Спрос D распределен по нормальному закону /V(300, 20). Определим стандартную нормально распределенную случайную величину (с законом распределения N(0, 1))

D-300

z =-.

Из таблицы стандартного нормального распределения находим (см. приложение В)

P{z< -0,79} = 0,214.

Тогда

= -0,79. 20

Следовательно, оптимальный объем заказа равен у = 284,2 (или примерно 284) экземпляров.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [ 199 ] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]