назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [ 194 ] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


194

Поэтому имеем

Оптимальное решение

Состояние

1,44 х3

Этап 2.

Л (*2) = тах {Р\1\ (*2 + г\Уг) + РгА (х2 + ггУг) = max (0,5xl,44(jf, + v2) + 0,2xl,44(; = max {l,44x,+0,288y2} = l,728x,.

\ + Р,Мх2+г,Уг)} =

r2+0y2) + 0,3xl,44[jc2+(-l)y2]}

Отсюда следует

Оптимальное решение

Состояние

1,728 х2

Этап 1.

/(*.) = max { д/2(дг, + ,jy,) + р2/2(дг, + r,y,) + pj2(дг, + г,у,)} =

= max (0,5х 1,728(х, + у,) + 0,2х 1,728(х, + 0у,) + 0,3х 1,728[х, + (-1)у,]} = = max {1,728х, + 0,3456V.} = 2,0736л:,.

(X v, S т. 1

Имеем

Оптимальное решение

Состояние

f.(xi)

2,0736 Xi

Оптимальную инвестиционную политику можно сформулировать следующим образом. Так как у] -xj для /= 1, 2, 3, 4, то оптимальным решением является инвестирование всех наличных денежных средств в начале каждого года. Накопленные денежные средства к концу четырех лет составят 2,0736*1 = 2,0736 х 10000 = = 20 736 долл.

Методом математической индукции нетрудно показать, что задача при каждом состоянии i (i = 1,2,п) имеет следующее решение:

[дг, если F< 0,

[(1 + г) , если г > 0.

(0, если 7 < 0,

У=\ - п

I дг,, если г > 0.



УПРАЖНЕНИЯ 15.2

1. Определите оптимальную инвестиционную политику в примере 15.2.1, предположив, что вероятности рк и прибыли гк для следующих 4 лет принимают такие значения.

Год П h Гъ pj pi Рз

1 2 1 0,5 0,1 0,4 0,5

2 10 -1 0,4 0,4 0,2

3 4 -11 0,2 0.4 0,4

4 0,8 0,4 0,2 0,6 0,2 0.2

2. Камера объемом 10 м предназначена для хранения изделий трех наименований. Одно изделие наименований 1, 2, 3 занимает соответственно 2, 1 и 3 м3. Вероятности спроса на эти изделия приведены в следующей таблице.

Вероятность спроса

Количество единиц Наименование 1 Наименование 2 Наименование 3

1 0,5 0,3 0,3

2 0,5 0,4 0,2

3 0,0 0,2 0.5

4 0.0 0,1 0,0

Стоимость хранения единицы изделия наименований 1, 2, 3 равна 8, 10 и 15 долл. соответственно. Сколько единиц изделий каждого наименования следует хранить в камере?

3. Фирма с высокотехнологичным производством начала выпуск самых современных суперкомпьютеров в расчете на трехлетний период. Годовой спрос D на новый суперкомпьютер описывается распределением

p(D = 1) = 0,5, p(D = 2) = 0,3, p(D = 3) = 0,2.

Производственная мощность завода составляет три суперкомпьютера в год стоимостью 5 млн. долл. каждый. Количество произведенных за год суперкомпьютеров может не совпадать точно с объемом спроса. На нереализованный к концу года суперкомпьютер требуются затраты в 1 млн. долл., связанные с его хранением и содержанием в исправности. Фирма терпит убытки в 2 млн. долл., если поставка суперкомпьютера откладывается на один год. Фирма не будет принимать новых заказов позже четвертого года, но будет продолжать выпуск суперкомпьютеров на протяжении пятого года, чтобы выполнить все заказы, оказавшиеся невыполненными к концу четвертого года. Определите оптимальные годичные объемы производства суперкомпьютеров.

4. Компания владеет тремя спортивными центрами в деловой части города. На Пасху популярны велосипедные прогулки на открытом воздухе. В компании имеется восемь велосипедов, которые она может распределить между тремя центрами для их проката, чтобы максимизировать доходы. Спрос на велосипеды и часовая стоимость их аренды зависят от месторасположения центра и характеризуются следующими данными.



Вероятность спроса

Количество велосипедов

Центр 1

Центр 2

Центр 3

0,10

0,02

, 0,20

0,03

0,15

0,30

0,10

0,25

0,20

0,25

0,30

0,10

0,30

0,15

0,10

0,15

0,10

0,05

0,025

0,05

0,025

0,05

Арендная плата (долл./ч)

Как компании распределить восемь велосипедов между тремя спортивными центрами?

15.3. МАКСИМИЗАЦИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ДОСТИЖЕНИЯ ЦЕЛИ

В разделе 15.2 рассматривалась задача, связанная с максимизацией ожидаемой прибыли. Иным полезным критерием для рассмотренной задачи является максимизация вероятности достижения определенного уровня дохода. Продемонстрируем этот подход на примере модели инвестирования, которая описана в разделе 15.2.

Используя обозначения из раздела 15.2, оставим без изменения определение этапа i, альтернативы yt и состояния хг Эти модели отличаются только определением критерия; здесь нашей целью является максимизация вероятности достижения некоторой накопленной денежной суммы S по истечении п лет. С этой точки зрения определим функцию ft(x) - вероятность накопления суммы S, если в начале i-го года имеются денежные средства в сумме х1 и для последующих лет i, i +

п используется оптимальное инвестирование.

Рекуррентное уравнение динамического программирования имеет вид

/Д*0 = ™« £АЯ{х. S}J,

f,{x,)= max \ JT pJ,A (x, + /jy,) I, / = 1,21. Рекуррентная формула основана на формуле условной вероятности

Р{Л)=±Р{А\В1)Р{В1). В нашем случае /)+1(х, + гку) играет роль вероятности Р{А В}.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [ 194 ] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]