назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [ 193 ] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


193

Ожидаемая прибыль

Оптимальное решение

Исход 3-го вращения, j

Закончить

Вращать

Решение

Вращать

Вращать

Закончить

Закончить

Закончить

Этап 3.

/,(/) =

max{2/, p/4(l) +p/4(2) +p/4(3) +p/4(4) +p/4(5)} =

max{2/, 0,3 х 5 + 0,25 х 5 + 0,2 х 6 + 0,15 х 8

+ 0,1 х 10} =

max{2/, 6,15}.

Ожидаемая прибыль

Оптимальное решение

Исход 2-го вращения,/

Закончить

Вращать

&(/)

Решение

6,15

6,15

Вращать

6,15

6,15

Вращать

6,15

6,15

Вращать

6,15

8,00

Закончить

6,15

10,00

Закончить

Этап 2.

max{2/,p/3(l)+p/3(2)-

/з(3)+р/3(4) +

Р/з(5)} =

.{2/, 0,3x6,

15 + 0,25x6,15+0,2x6,15-+

-0,15 х 8 + 0,1 х 10}

;{2/, 6,8125}.

Ожидаемая прибыль

Оптимальное решение

Исход 1-го вращения,/

Закончить

Вращать

Решение

6,8125

6,8125

Вращать

6,8125

6,8125

Вращать

6,8125

6,8125

Вращать

6,8125

8,0000

Закончить

6,8125

10,0000

Закончить

Этап 1.

/,(0)-рШ+РгШ) +р/2(3) +р/2(4) +р/2(5) =

= 0,3 х 6,8125 + 0,25 х 6,8125 + 0,2 х 6,8125 + 0,15 х 8 + 0,1 х 10 = 7,31.

В начале игры единственным выбором является вращение колеса.

Из предыдущих таблиц следует, что оптимальным решением будет следующая последовательность действий.



НомеР Оптимальная стратегия

вращения

1 Начало игры; вращать

2 Продолжить игру, если исходом первого вращения есть 1, 2 или 3; иначе закончить игру

3 Продолжить игру, если исходом второго вращения есть 1, 2 или 3; иначе закончить игру

4 Продолжить игру, если исходом третьего вращения есть 1 или 2; иначе закончить игру

Ожидаемая прибыль от игры составляет 7,31 - 5 = 2,31 долл.

УПРАЖНЕНИЯ 15.1

1. Пусть в задаче из примера 15.1.1 по периметру колеса расставлены числа от 1 до 8, и вероятности остановки колеса на каждом из этих чисел одинаковы. Предполагая, что каждая игра состоит не более чем из пяти вращений колеса, определите оптимальную стратегию игры.

2. Я хочу продать свой подержанный автомобиль тому, кто предложит наивысшую цену. Изучая автомобильный рынок, я пришел к выводу, что с равными вероятностями мне за автомобиль могут предложить низкую (около 1050 долл.), среднюю (около 1900 долл.) либо высокую цену (около 2500 долл.). Я решил помещать объявление о продаже автомобиля на протяжении не более трех дней подряд. В конце каждого дня мне следует решить, принять ли наилучшее предложение, поступившее в течение этого дня. Какой должна быть моя оптимальная стратегия относительно принятия предложенной цены за автомобиль?

15.2. ЗАДАЧА ИНВЕСТИРОВАНИЯ

Некто планирует инвестировать С тыс. долл. через фондовую биржу в течение последующих п лет. Инвестиционный план состоит в покупке акций в начале года и продаже их в конце этого же года. Накопленные деньги затем могут быть снова инвестированы (все или их часть) в начале следующего года. Степень риска инвестиции представлена тем, что прибыль имеет вероятностный характер. Изучение рынка свидетельствует о том, что прибыль от инвестиции зависит от т условий рынка (благоприятных или неблагоприятных). При этом условие i приводит к прибыли г, с вероятностьюpt, /=1,2, т. Как следует инвестировать С тыс. долл. для наибольшего накопления к концу п лет?

Обозначим

х, - сумма денежных средств, доступных для инвестирования в начале i-го года (ж,-С),

yt - сумма реальной инвестиции в начале i-го года (yt < х,). Элементы модели ДП можно описать следующим образом.

1. Этап i представляет i-Pi год инвестирования.

2. Альтернативами на этапе i являются величины yt.

3. Состояние системы на этапе i описывается величиной х,.

Пусть ft(x) - максимальная ожидаемая сумма поступления денежных средств за годы от i до п при условии, что в начале i-го года имеется сумма xt. Для А-го условия рынка имеем следующее.

х1+, = (1 + rjу, + fx,-yj = rky,-1-х,, к = 1,2.....m.



/(xj= max \pj{x,+rky,) / = 1, 2,...,;;, где/„ +i(*„ + 1) = j, так как после /i-го года инвестиции нет. Отсюда следует, что

(*")= о™* А (*" + iJ"} = х" + о™* JS(АГ*} Введя обозначения F = ptrk , получим

[О, если 7 < О,

[х„, если г > 0.

f jfn, если 7 < 0,

(1 + г)хп, если г > 0.

Пример 15.2.1

Пусть в предыдущей модели инвестирования объем инвестиции составляет С= 10 ООО долл. на 4-летний период. Существует 40%-ная вероятность того, что вы удвоите деньги, 20%-ная- останетесь при своих деньгах и 40%-ная - потеряете весь объем инвестиции. Необходимо разработать оптимальную стратегию инвестирования.

Используя принятые в модели обозначения, получаем следующее.

С=10 000,« = 4,/и = 3,

р, = 0,4, р2 = 0,2,3 = 0,4,

/-, = 2, г2 = 0, г3=-\.

Этап 4.

7 = 0,5x0,1 + 0,2x0 + 0,Зх(-1) = 0,2, /4(*4) = (1+ г )х4=1,2*4.

Отсюда получаем

Оптимальное решение

Состояние

Л,(х4)

1,2 х4

Этап 3.

А(*з) = max {pjt (дг, + /;у,) + р2/4 (дг, + г,у,) + />,/„ (дг, + г,у,)} =

= отах {0,5xl,2(x3 +y,) + 0,2xl,2(x,+0y,) + 0,3xl,2[x, + (-1)у,]} = = max {1,2х, + 0,246 v,} = 1,44*,.

Поскольку вероятность ft-ro условия рынка равна рк, рекуррентное уравнение динамического программирования имеет следующий вид:

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [ 193 ] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]