назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [ 19 ] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


19

двойственная цена первого ограничения. Отсюда можно заключить, что любые новые вложения следует размещать в виде кредитов на покупку жилья.

Второе ограничение данной задачи указывает нижнюю границу суммы сельскохозяйственных и коммерческих кредитов. Отрицательная двойственная цена (-0,0084) показывает, что увеличение этой границы приведет к уменьшению чистой прибыли банка. Другими словами, экономически не выгодно устанавливать нижнюю границу для суммы сельскохозяйственных и коммерческих кредитов. Это еще раз подтверждает, как было видно при рассмотрении первого ограничения, что любые дополнительные вложения следует помещать в кредиты на покупку жилья, а не в сельскохозяйственные и коммерческие кредиты. Если мы вообще удалим это ограничение, все инвестиции переместятся в кредиты на покупку жилья. Проверьте это утверждение, удалив второе ограничение и решив новую задачу с помощью программы TORA (для этого достаточно использовать опцию MODIFY (Изменить) при решении текущей задачи).

Пример 2.5.2. Освоение и использование земли

Компания Birdeyes владеет 800 акрами необработанной земли с живописным озером в центре горного массива Озарк. В прошлом освоение территории вокруг озера происходило нерегулярно и понемногу. Сейчас вокруг озера построено много домиков для отдыхающих. Поскольку канализация отсутствует, интенсивно используются септические контейнеры (большие емкости для хранения бытовых отходов). В настоящее время многие контейнеры приходят в негодность (текут), поэтому появились проблемы с загрязнением воды в озере.

Чтобы предотвратить дальнейшее загрязнение озера, официальные власти округа разработали строгие ограничительные требования для возможного дальнейшего освоения этой территории.

1. Разрешается возводить домики только на одну, две или три семьи, причем доля домиков на одну семью должна составлять не менее 50% от всех построенных.

2. Ограничивается количество септических контейнеров: минимальная территория, отведенная для размещения одного контейнера, обслуживающего один домик на одну, две или три семьи, составляет соответственно 2, 3 и 4 акра.

3. Рекреационная зона рассчитывается исходя из нормы - не менее одного акра на 200 семей.

4. Для предотвращения загрязнения озера запрещается использовать поверхностные воды для полива и бытовых нужд.

Правление компании Birdeyes решило изучить возможности дальнейшего освоения тех 800 акров земли, которые ей принадлежат. Дальнейшее освоение этих земель предусматривает строительство домиков для отдыха на одну, две и три семьи. Подсчитано, что необходимо отвести не менее 15% всей территории на прокладку дорог и строительство вспомогательных сооружений. Компания планирует сдавать домики отдыхающим и рассчитывает получить от одного домика следующую прибыль.

Тип домика

на одну семью

на две семьи

на три семьи

Чистая прибыль (долл.)

10 000

12 000

15 000

Стоимость планируемой водопроводной сети пропорциональна количеству домиков, подключенных к водопроводу. Однако власти округа настаивают на том, что



необходимо собрать не менее 100 ООО долл., чтобы этот проект был экономически осуществимым. Кроме того, известно, что даже в пиковый период водопроводная сеть не сможет поставить больше 200 ООО галлонов воды в день. В следующей таблице приведена стоимость подключения к водопроводной сети одного домика и указана ежедневная потребность в воде одной средней семьи.

Тип домика

на одну

на две

натри

Рекреационная

семью

семьи

семьи

зона

Стоимость подключения к водопроводу (долл.)

1000

1200

1400

Потребность в воде (галлон/день)

Математическая модель. Компания должна определить, сколько строить домиков различного типа и какова должна быть рекреационная зона, чтобы удовлетворить требованиям властей округа. Пусть

jCj - количество домиков на одну семью,

хг - количество домиков на две семьи,

х3 - количество домиков на три семьи,

х4 - количество акров земли, отводимых под рекреационную зону.

Очевидно, что компания должна максимизировать свой доход, поэтому целевую функцию можно записать так:

максимизировать z = ЮООх, + 12000л:2 + 15000;с3.

Задача имеет следующие ограничения.

1. Ограничение на общую площадь используемой земли.

2. Ограничение, связанное со строительством домиков преимущественно на одну семью.

3. Ограничение, учитывающее требования к рекреационной зоне.

4. Ограничение, связанное со строительством водопроводной сети.

5. Ограничение на потребление воды в пиковый период.

Эти ограничения математически будут записаны следующим образом.

1. Ограничение на общую площадь используемой земли:

2хг + Зхг + 4х3 + lxt < 680 (= 0,85 х 800).

2. Ограничение, связанное со строительством домиков преимущественно на одну семью:

-3->0,5

я, + хг + х3

0,5дг,-0,5д:2-0,5д:3>0.

3. Ограничение, учитывающее требования к рекреационной зоне:

х, + 2х, + Зх,

х.>----

200л:,-л:, - 2x2-3xa>0.



4. Ограничение, связанное со строительством водопроводной сети:

1000л:, + 1200*2 + 1400*3 + 800*4 > 100 ООО.

5. Ограничение на потребление воды в пиковый период:

400*, + 600*2 + 840л:3 + 450х* 200 000 •

6. Условия неотрицательности:

хО, х2>0, xt>0, xt>0.

Еще на этапе формулирования математической модели следует обращать внимание на возможные проблемы, которые могут возникнуть из-за ошибок машинного округления. В нашей модели коэффициенты в четвертом и пятом ограничениях значительно больше по величине, чем все остальные. Эта несоразмерность (относительная) величин коэффициентов может привести к непредвиденным ошибкам машинного округления и, следовательно, к неверному результату. В нашем случае мы можем предотвратить эту потенциальную опасность путем масштабирования коэффициентов, для чего все коэффициенты в четвертом и пятом неравенствах надо разделить на 1000. После этого неравенства будут записаны следующим образом.

*, + 1,2х2 + 1,4*3 + °>8х4 100, 0,4*, + 0,6*2 + 0,84*з + °.45*4 < 200.

К подобным вычислительным проблемам может привести и наличие в неравенствах слишком малых по величине коэффициентов. В этом случае также применяется масштабирование коэффициентов, но уже в сторону их увеличения. Большинство программного обеспечения, предназначенного для решения задач ЛП (включая программу TORA), пытается согласовать величины коэффициентов еще до начала расчетов. Однако это желательно сделать еще на этапе формализации модели.

На рис. 2.20 представлено оптимальное решение для построенной модели. Отметим, что обычная задача линейного программирования не предполагает целочисленного решения. Поэтому мы получили значения *, = 339,15, *4 = 1,70 и *2 = *3 = 0. Мы можем округлить полученные значения, тогда *, = 339 и *4 = 2 (эти значения в данном случае совпадут с оптимальным решением задачи целочисленного линейного программирования).

Оптимальное решение не рекомендует строить домики на две и три семьи, несмотря на то что доходность этих домиков (12 000 и 15 000 долл.) выше, чем домиков, рассчитанных на одну семью. Этот результат показывает, что только по коэффициентам целевой функции нельзя судить о "рентабельности" отдельных видов экономической деятельности, которым соответствуют данные коэффициенты. Следует учитывать также стоимость ресурсов, необходимых для осуществления такой деятельности. Это тот фактор, который выражается приведенной стоимостью. Приведенные стоимости для домиков на две и три семьи составляют 3012,47 и 5024,94 долл. соответственно. Это означает, что для того, чтобы такие домики были рентабельными, необходимо либо на величины приведенных стоимостей уменьшить стоимость ресурсов, необходимых для их строительства и эксплуатации, либо на такую же величину увеличить их доходность.

В ограничениях 2, 4 и 5 дополнительные переменные имеют положительные значения, а это указывает на то, что соответствующие "ресурсы" использованы не полностью. В результате двойственные цены, соответствующие этим ограничениям, равны нулю. Двойственная цена первого ограничения (ограничение на общую площадь используе-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [ 19 ] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]