т, - повышение котировок, т2 - понижение котировок.
Мнение друга можно записать в виде вероятностных соотношений следующим образом.
P{v1/»1} = 0,9, P{v,/h2} = 0,1,
/»;-,} = 0,5, P{v2\m,} = 0,5.
С помощью этой дополнительной информации задачу выбора решения можно сформулировать следующим образом.
1. Если мнение друга "за", акции какой компании следует покупать - А или В?
2. Если мнение друга "против", то, опять-таки, - акции какой компании следует покупать - А или В?
Рассматриваемую задачу можно представить в виде дерева решений, показанного на рис. 14.5. Узлу 1 здесь соответствует случайное событие (мнение друга) с соответствующими вероятностями "за" и "против". Узлы 2 и 3 представляют выбор между компаниями А и В при известном мнении друга "за" или "против" соответственно. Узлы 4-7 соответствуют случайным событиям, связанным с повышением и понижением котировок.
Инвестиции в А
Мнение "за" (v,)
Инвестиции в В
Повышение котировок (т0 P{mx\vx} =0.730
Понижение котировок (т2)
/>{m2vi} =0.270 Повышение котировок (т,) P{m1\vi} = 0.730
Инвестиции в А
Понижение котировок (т2) P{m2\v{) =0.270
Повышение котировок (mj) P{w1v2} =0.231
Понижение котировок (т2)
P{m2\v2} = 0.769 Повышение котировок (т{) Р{т2) =0.231
Понижение котировок (т2) P{m2\v2} = 0.769
Рис. 14.5. Дерево решений с апостериорными вероятностями
Мнение "против" (v2)
Инвестиции в В
$5000
-$2000 $1500
$500 $5000
-$2000 $1500
$500
Для оценки различных альтернатив, показанных на рис. 14.5, необходимо вычислить апостериорные вероятности P{mt\ i}, указанные на соответствующих ветвях,
выходящих из узлов 4-7. Эти апостериорные вероятности вычисляются с учетом дополнительной информации, содержащейся в рекомендациях друга, с помощью следующих действий.
Шаг 1. Условные вероятности P{i>. т} для данной задачи запишем следующим образом.
Шаг 2. Вычисляем вероятности совместного появления событий.
P{mt, v} = P{vj\ m)P{mj} для всех / и j.
При заданных априорных вероятностях Р{ш,} = 0,6 и Р{т2) = 0,4 вероятности совместного появления событий определяются умножением первой и второй строк таблицы, полученной на шаге 1, на 0,6 и 0,4 соответственно. В результате имеем следующее.
Сумма всех элементов этой таблицы равна 1. Шаг 3. Вычисляем абсолютные вероятности.
P{v;}= £ />{/h,.,v).} для всех,/.
но всем /
Эти вероятности получаются путем суммирования элементов соответствующих столбцов таблицы, полученной на шаге 2. В итоге имеем следующее.
Шаг 4. Определяем искомые апостериорные вероятности по формуле
Эти вероятности вычисляются в результате деления каждого столбца таблицы, полученной на шаге 2, на элемент соответствующего столбца таблицы, вычисленной на шаге 3, что приводит к следующим результатам (округленным до трех десятичных знаков).
V1 v2
Это те вероятности, которые показаны на рис. 14.5. Они отличаются от исходных априорных вероятностей Р{тг} = 0,6 и Р{т2} = 0,4.
Теперь можно оценить альтернативные решения, основанные на ожидаемых платежах для узлов 4-7.
Мнение "за"
Доход от акций компании А в узле 4 = 5000 х 0,730 + (-2000) х 0,270 = 3110 (долл.). Доход от акций компании В в узле 5 = 1500 х 0,730 + 500 х 0,270 = 1230 (долл.). Решение. Инвестировать в акции компании А. Мнение"против"
Доход от акций компанииАв узле 6 = 5000 х 0,231 + (-2000) х 0,769 = -383 (долл.). Доход от акций компании В в узле 7 = 1500 х 0,231 + 500 х 0,769 = 731 (долл.). Решение. Инвестировать в акции компании В.
Заметим, что предыдущие решения эквивалентны утверждению, что ожидаемые платы в узлах 2 и 3 равны 3110 и 731 долл. соответственно (рис. 14.5). Следовательно, при известных вероятностях i3{v1} = 0,74 и P{v2} = 0,26, вычисленных на шаге 3, можно определить ожидаемую плату для всего дерева решений (упражнение 14.2.2.3).
Вычисление в Excel апостериорных вероятностей. Шаблон Excel chl4Bayes-Posterior.xls вычисляет апостериорные вероятности для заданных матриц условных вероятностей, которые не должны превышать размер 10x10. Для вычислений необходимо задать вероятности Р{т} и P{v\ т}. Excel проверит входные данные на наличие ошибок и при их обнаружении выведет соответствующее сообщение. На рис. 14.6 показано применение шаблона для решения задачи примера 14.2.2.
| В I С 0 I E I L | M iNl |
| Bayes Posterior Probabilities |
| Input Data | Output Results |
| | P{vm) (10x10) maximum | P{v,m} |
| | [m> j v1 v2 | v1 v2 |
| | 0.6! 0.9 0.1 | 0 5400 0 0600 |
| | 0.4j 0.5 0.5 | 0.2000 0 2000 |
| Input Data Error Messages | P{v} |
| | | 0.7400 0.2600 |
"17 | | | P{mv} |
| | | 0.7297 0.2308 |
| | | 0.2703 0.7692 |
Рис. 14.6. Вычисление в Excel апостериорных вероятностей для примера 14.2.2
УПРАЖНЕНИЯ 14.2.2
1. Несмотря на сезон дождей, Джим Боб планирует завтра идти на рыбалку, но только если не будет дождя. Из данных о погоде прошлых лет следует, что имеется 70% -ная вероятность, что в сезон дождей будет идти дождь. В шесть часов вечера синоптики предсказали с 85% -ной вероятностью, что завтра будет дождь. Следует ли Джиму Бобу планировать рыбалку на завтра?