назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [ 183 ] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


183

т, - повышение котировок, т2 - понижение котировок.

Мнение друга можно записать в виде вероятностных соотношений следующим образом.

P{v1/»1} = 0,9, P{v,/h2} = 0,1,

/»;-,} = 0,5, P{v2\m,} = 0,5.

С помощью этой дополнительной информации задачу выбора решения можно сформулировать следующим образом.

1. Если мнение друга "за", акции какой компании следует покупать - А или В?

2. Если мнение друга "против", то, опять-таки, - акции какой компании следует покупать - А или В?

Рассматриваемую задачу можно представить в виде дерева решений, показанного на рис. 14.5. Узлу 1 здесь соответствует случайное событие (мнение друга) с соответствующими вероятностями "за" и "против". Узлы 2 и 3 представляют выбор между компаниями А и В при известном мнении друга "за" или "против" соответственно. Узлы 4-7 соответствуют случайным событиям, связанным с повышением и понижением котировок.

Инвестиции в А

Мнение "за" (v,)

Инвестиции в В

Повышение котировок (т0 P{mx\vx} =0.730

Понижение котировок (т2)

/>{m2vi} =0.270 Повышение котировок (т,) P{m1\vi} = 0.730

Инвестиции в А

Понижение котировок (т2) P{m2\v{) =0.270

Повышение котировок (mj) P{w1v2} =0.231

Понижение котировок (т2)

P{m2\v2} = 0.769 Повышение котировок (т{) Р{т2) =0.231

Понижение котировок (т2) P{m2\v2} = 0.769

Рис. 14.5. Дерево решений с апостериорными вероятностями

Мнение "против" (v2)

Инвестиции в В

$5000

-$2000 $1500

$500 $5000

-$2000 $1500

$500

Для оценки различных альтернатив, показанных на рис. 14.5, необходимо вычислить апостериорные вероятности P{mt\ i}, указанные на соответствующих ветвях,



выходящих из узлов 4-7. Эти апостериорные вероятности вычисляются с учетом дополнительной информации, содержащейся в рекомендациях друга, с помощью следующих действий.

Шаг 1. Условные вероятности P{i>. т} для данной задачи запишем следующим образом.

Шаг 2. Вычисляем вероятности совместного появления событий.

P{mt, v} = P{vj\ m)P{mj} для всех / и j.

При заданных априорных вероятностях Р{ш,} = 0,6 и Р{т2) = 0,4 вероятности совместного появления событий определяются умножением первой и второй строк таблицы, полученной на шаге 1, на 0,6 и 0,4 соответственно. В результате имеем следующее.

0,54

0,06

0,20

0,20

Сумма всех элементов этой таблицы равна 1. Шаг 3. Вычисляем абсолютные вероятности.

P{v;}= £ />{/h,.,v).} для всех,/.

но всем /

Эти вероятности получаются путем суммирования элементов соответствующих столбцов таблицы, полученной на шаге 2. В итоге имеем следующее.

P{v2)

0,74

0,26

Шаг 4. Определяем искомые апостериорные вероятности по формуле

Эти вероятности вычисляются в результате деления каждого столбца таблицы, полученной на шаге 2, на элемент соответствующего столбца таблицы, вычисленной на шаге 3, что приводит к следующим результатам (округленным до трех десятичных знаков).

V1 v2

0,730

0,231

0,270

0,769



Это те вероятности, которые показаны на рис. 14.5. Они отличаются от исходных априорных вероятностей Р{тг} = 0,6 и Р{т2} = 0,4.

Теперь можно оценить альтернативные решения, основанные на ожидаемых платежах для узлов 4-7.

Мнение "за"

Доход от акций компании А в узле 4 = 5000 х 0,730 + (-2000) х 0,270 = 3110 (долл.). Доход от акций компании В в узле 5 = 1500 х 0,730 + 500 х 0,270 = 1230 (долл.). Решение. Инвестировать в акции компании А. Мнение"против"

Доход от акций компанииАв узле 6 = 5000 х 0,231 + (-2000) х 0,769 = -383 (долл.). Доход от акций компании В в узле 7 = 1500 х 0,231 + 500 х 0,769 = 731 (долл.). Решение. Инвестировать в акции компании В.

Заметим, что предыдущие решения эквивалентны утверждению, что ожидаемые платы в узлах 2 и 3 равны 3110 и 731 долл. соответственно (рис. 14.5). Следовательно, при известных вероятностях i3{v1} = 0,74 и P{v2} = 0,26, вычисленных на шаге 3, можно определить ожидаемую плату для всего дерева решений (упражнение 14.2.2.3).

Вычисление в Excel апостериорных вероятностей. Шаблон Excel chl4Bayes-Posterior.xls вычисляет апостериорные вероятности для заданных матриц условных вероятностей, которые не должны превышать размер 10x10. Для вычислений необходимо задать вероятности Р{т} и P{v\ т}. Excel проверит входные данные на наличие ошибок и при их обнаружении выведет соответствующее сообщение. На рис. 14.6 показано применение шаблона для решения задачи примера 14.2.2.

В I С 0 I E I L

M iNl

Bayes Posterior Probabilities

Input Data

Output Results

P{vm) (10x10) maximum

P{v,m}

[m> j v1 v2

v1 v2

0.6! 0.9 0.1

0 5400 0 0600

0.4j 0.5 0.5

0.2000 0 2000

Input Data Error Messages

P{v}

0.7400 0.2600

"17

P{mv}

0.7297 0.2308

0.2703 0.7692

Рис. 14.6. Вычисление в Excel апостериорных вероятностей для примера 14.2.2

УПРАЖНЕНИЯ 14.2.2

1. Несмотря на сезон дождей, Джим Боб планирует завтра идти на рыбалку, но только если не будет дождя. Из данных о погоде прошлых лет следует, что имеется 70% -ная вероятность, что в сезон дождей будет идти дождь. В шесть часов вечера синоптики предсказали с 85% -ной вероятностью, что завтра будет дождь. Следует ли Джиму Бобу планировать рыбалку на завтра?

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [ 183 ] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]