70 Глава 2. Введение в линейное программирование LINEAR PROGRAMMING OUTPUT SUMMARY
Title: Problem 2, Set 2.4a Final Iteration No.: 4 Objective Value = 63000
Variable Value | Obj Coeff | Obj Val Contrib | |
x1: Juice 500,00 x2: Paste 6000,00 | 18,00 9,00 | 9000,00 54000,00 | |
Constraint RHS | Slack-/Surplus+ | | |
1 (<) 60000,00 2 (<) 2000,00 3 (<) 6000,00 | 0,00 1500,00-0,00 | | |
| ""Sensitivity Analysis* | | |
Variable Current Obj Coeff | Min Obj Coeff | Max Obj Coeff | Reduced Cost |
x1: Juice 18,00 x2: Paste 9,00 | 0,00 6,00 | 27,00 infinity | 0,00 0,00 |
Constraint Current RHS | Min RHS | Max RHS | Dual Price |
1 (<) 60000,00 2 (<) 2000.00 3 (<) 6000,00 | 48000,00 500,00 1500,00 | 96000,00 infinity 7500.00 | 0,75 0.00 3,00 |
Рис. 2.18. Выходной отчет программы TORA |
Пример 2.5.1. Кредитная политика банка | | |
Банк Thriftem, предоставляющий полный набор банковских услуг, находится в процессе формирования портфеля кредитов объемом 12 млн. долл. В следующей таблице представлены возможные типы банковских кредитов. |
Тип кредита | Ставка процента | Вероятность безнадежных долгов |
Кредиты физическим лицам Кредиты на покупку автомобилей Кредиты на покупку жилья Сельскохозяйственные Коммерческие | 0,140 0,130 0,120 0,125 0,100 | | 0,10 0,07 0,03 0,05 0,02 |
Безнадежные долги считаются невозвратимыми, поэтому они должны вычитаться из возможного дохода. Конкурентная борьба с другими финансовыми институтами вынуждает банк не менее 40% капитала помещать в сельскохозяйственные и коммерческие кредиты. Для содействия строительной индустрии своего региона банк планирует вложить в кредиты на покупку жилья не менее 50% от общей суммы кредитов физических лиц, на покупку автомобилей и жилья. Банк также поддерживает государственную политику, указывающую, что отношение безнадежных долгов ко всей сумме кре- |
дитов не должно превышать 0,04.
Математическая модель. Переменные для создаваемой модели можно определить следующим образом:
х, - кредиты физическим лицам,
х2 - кредиты на покупку автомобилей,
х3 - кредиты на покупку жилья,
х4 - сельскохозяйственные кредиты,
х5 - коммерческие кредиты.
Банк Thriftem, естественно, желает максимизировать чистую прибыль, т.е. разность между доходом от инвестируемых сумм и суммой невозвращенных кредитов. Поскольку безнадежные долги считаются невозвратимыми, они вычитаются как из инвестируемых сумм, так и из общей прибыли. Исходя из этих соображений, целевую функцию можно записать следующим образом.
Максимизировать z = 0,14х(0,9х,) + 0,13х(0,93х2) + 0,12х(0,97х,) + 0,125х(0,95х4) + + 0,1х(0,98х5) - ОДх, - 0,07х2 - О.ОЗх, - 0,05х4 - 0,02д:5.
После приведения подобных членов получаем
максимизировать z = 0,026х, + 0,0509х2 + 0,0864х3 + 0,06875х4 + 0,078х5.
Задача имеет пять ограничений.
1. Ограничение общей суммы кредитов
х, + х2 + х3 + х4 + дг5 < 12.
2. Ограничение на сельскохозяйственные и коммерческие кредиты
х4+х5>0,4х 12
дг4+х5>4,8.
3. Ограничения кредитов на покупку жилья
х3>0,5(х1 + х2-гх,)
0,5х, + 0,5х2-0,5х3 <0.
4. Ограничения на невозвращенные кредиты
0,1х, +0,07х2 +0,03х3 +0,05х4 + 0,02х5 Q рд X, + х, + х3 + xt + х5
0,06х, + 0,03х2 - 0,01х8 + 0,01х4 - 0,02х5 < 0.
5. Условия неотрицательности
х, > 0, х2 > 0, х3 > 0, х4 > 0, х5 > 0.
Необходимо сделать еще одно "тонкое" замечание, что все кредиты выделяются примерно в одно и то же время. Это позволит игнорировать временной фактор в процессе размещения капитала в различные кредиты.
Оптимальное решение сформулированной задачи линейного программирования показано на рис. 2.19.7 Оно рекомендует использовать только кредиты на покупку жилья и коммерческие кредиты. Среди неиспользованных типов кредитов наименее при-
Все модели, рассмотренные в этом разделе, в формате программы TORA содержатся в папке ToraFiles на прилагаемом к книге компакт-диске.
влекательны кредиты физическим лицам и не только из-за того, что коэффициент при переменной xt в целевой функции минимальный (равен 0,026), но и потому, что приведенная стоимость таких кредитов превышает (равна 0,0604) все остальные. Приведенная стоимость показывает, что "рентабельность" этой переменной должна возрасти до 0,0604, чтобы кредиты для физических лиц стали привлекательными для инвестиций.
LINEAR PROGRAMMING OUTPUT SUMMARY
Title: Bank Loan Model, Example 2.5-1 Final Iteration No.: 7 Objective Value = 1
Variable | Value | Obj Coeff | Obj Val Contrib | |
x1: personal | 0.00 | 0,03 | 0,00 | |
x2: car | 0.00 | 0,05 | 0,00 | |
x3: home | 7.20 | 0,09 | 0,62 | |
x4: farm | 0.00 | 0,07 | 0,00 | |
x5: comml | 4.80 | 0,08 | 0,37 | |
Constraint | | Slack-/Surplus+ | | |
1 (<) | 12,00 | 0,00 | | |
2(>) | 4.80 | 0,00 | | |
3(<) | 0.00 | 3,60- | | |
4(<) | 0,00 | 0,17- | | |
| | ***Sensitivity Analysis** | | |
Variable | Current Obj Coeff | Min Obj Coeff | Max Obj Coeff | Reduced Cost |
x1: personal | 0,03 | -infinity | 0,09 | 0,06 |
x2: car | 0,05 | -infinity | 0,09 | 0,04 |
x3: home | 0,09 | 0.08 | infinity | 0,00 |
x4: farm | 0.07 | -infinity | 0,08 | 0.01 |
x5: comml | 0.08 | 0,07 | 0,09 | 0.00 |
Constraint | Current RHS | Min RHS | Max RHS | Dual Price |
1 (<) | 12,00 | 4,80 | infinity | 0,09 |
2(>) | 4.80 | 0,00 | 12,00 | -0,01 |
3(<) | 0,00 | -3,60 | infinity | 0,00 |
4(<) | 0,00 | -0,17 | infinity | 0.00 |
Рис. 2.19. Выходной отчет программы TORA для модели кредитной политики банка
Двойственная цена первого ограничения показывает, что увеличение суммы всех кредитов на единицу (млн. долл.) приводит к увеличению чистой прибыли на 0,0864 (млн. долл.). Это эквивалентно 8,64% годовых от суммы инвестиций. Поскольку соответствующий интервал для значения правой части этого ограничения простирается от 4,8 до бесконечности, указанный процент годовых гарантирован для любой общей суммы кредитов, превышающих 12 млн. долл. Но этот процент годовых, конечно, очень мал, поскольку наименьший процент по банковским вложениям составляет 10% (для коммерческих кредитов). Разность в величинах этих процентов обусловливают невозвращенные кредиты, которые вычитаются и из общей суммы кредитов, и из чистой прибыли. В формуле целевой функции наибольший коэффициент (0,0864) стоит перед переменной, соответствующей объему кредитов на покупку жилья. Интересно, что в данном решении ему оказалась равной