назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [ 178 ] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


178

?11-0,2,?11-0,3,?1,-0,5, ?я = 0,5,ди-0,2,?я-0,3.

Основываясь на этой информации, оцените с помощью комбинированных весов каждый из трех университетов.

Определение весовых коэффициентов. Сложность метода анализа иерархий заключается в определении относительных весовых коэффициентов (таких, как использованные в примере 14.1.1) для оценки альтернативных решений. Если имеется п критериев на заданном уровне иерархии, соответствующая процедура создает матрицу А размерности пхп, именуемую матрицей парных сравнений, которая отражает суждение лица, принимающего решение, относительно важности разных критериев. Парное сравнение выполняется таким образом, что критерий в строке i (i = 1, 2,

п) оценивается относительно каждого из критериев, представленных п столбцами. Обозначим через а, элемент матрицы А, находящийся на пересечении i-й строки и )-го столбца. В соответствии с методом анализа иерархий для описания упомянутых оценок используются целые числа от 1 до 9. При этом а = 1 означает, что i-й и ;-й критерии одинаково важны, atj = 5 отражает мнение, что i-й критерий значительно важнее, чем ;-й, a atj = 9 указывает, что i-й критерий чрезвычайно важнее /-го. Другие промежуточные значения между 1 и 9 интерпретируются аналогично. Согласованность таких обозначений обеспечивается следующим условием: если at~k, то автоматически ajt = 1/k. Кроме того, все диагональные элементы а, матрицы А должны быть равны 1, так как они выражают оценку критерия относительно самих себя.

Пример 14.1.2

Покажем, как определяется матрица сравнения А для задачи выбора Мартина из примера 14.1.1. Начнем с главного иерархического уровня, который имеет дело с критериями академической репутации университета и его местонахождения. С точки зрения Мартина, академическая репутация университета значительно важнее его местонахождения. Следовательно, он приписывает элементу (2, 1) матрицы А значение 5, т.е. а21 = 5. Это автоматически предполагает, что а12= 1/5. Обозначив через R и L критерии репутации университета и его местонахождения, можно записать матрицу сравнения следующим образом.

Относительные веса критериев Rw. L могут быть определены путем деления элементов каждого столбца на сумму элементов этого же столбца. Следовательно, для нормализации матрицы А делим элементы первого столбца на величину 1 + 5 = 6, элементы второго- на величину 1 + 1/5 = 1,2. Искомые относительные веса wR и wL критериев вычисляются теперь в виде средних значений элементов соответствующих строк нормализованной матрицы А. Следовательно,

L R Средние значения элементов строк

L (ОМ 0,П\ wR =(0,83 + 0,83)/2 = 0,83,

~R (,0,83 0,83 J w, =(0,17 + 0,17)/2 = 0,17.



Врезультате вычислений получили wR = 0,83 и wL = 0,17, т.е. те веса, которые показаны на рис. 14.1. Столбцы матрицы N одинаковы, что имеет место лишь в случае, когда лицо, принимающее решение, проявляет идеальную согласованность в определении элементов матрицы А. Этот тезис детальнее обсуждается ниже. Относительные веса альтернативных решений, соответствующих университетам А, В и С, вычисляются в пределах каждого критерия R и L с использованием следующих двух матриц сравнения.

А, = В

2 2 5 2

Суммы элементов столбцов =[8, 3,5, 1.7]

А В С

А И С

Суммы элементов столбцов =[1.83, 3,67, 5.5],

Элементы матриц \R и AL определены на основе суждений Мартина, касающихся относительной важности трех университетов.

При делении элементов каждого столбца матриц AR и AL на сумму элементов этих же столбцов получаем следующие нормализованные матрицы.

N, =В

: В С

ABC 0,125 0,143 0.118 0,250 0,286 0,294 0,625 0,571 0,588

ABC 0,545 0,545 0,545 0,273 0,273 0,273 10,182 0.182 0,182

Средние значения элементов строк wIA =(0,125 + 0,143 + 0,118)/3 = 0,129, wIB = (0,250 + 0,286 + 0,294) /3 = 0,277, w,,. = (0,625 + 0,571 + 0,588) / 3 = 0,594.

Средние значения элементов строк Wra = (0,545 + 0,545 + 0,545) / 3 = 0,545, wRB = (0,273 + 0,273 + 0,273) / 3 = 0,273, wRC =(0,182 + 0,182 + 0,182)/3 = 0.182.

Величины (wRA, wRB, wRC) = (0,545,0,273,0,182) дают соответствующие веса для университетов А, В и С с точки зрения академической репутации. Аналогично величины (wm> wi.b, wlc) = (0,129, 0,277, 0,594) являются относительными весами, касающимися местонахождения университетов.

Согласованность матрицы сравнений. В примере 14.1.2 мы отмечали, что все столбцы нормализованных матриц N и N„ идентичны, а столбцы матрицы ISL таковыми не являются. Одинаковые столбцы указывают на то, что результирующие относительные веса сохраняют одно и то же значение независимо от того, как выполняется сравнение. В этом случае говорят, что исходные матрицы сравнения А и А, являются согласованными. Следовательно, матрица AL не является таковой.

Согласованность означает, что решение будет согласовано с определениями парных сравнений критериев или альтернатив. С математической точки зрения



согласованность матрицы А означает, что atJajk = alh для всех I, j и к. Например, в матрице Ая из примера 14.1.2 а13 = 3 и а12а23 = 2 х 3/2 = 3. Свойство согласованности требует линейной зависимости столбцов (и строк) матрицы А. В частности, столбцы любой матрицы сравнений размерностью 2x2 являются зависимыми, и, следовательно, такая матрица всегда является согласованной. Не все матрицы сравнений являются согласованными. Действительно, принимая во внимание, что такие матрицы строятся на основе человеческих суждений, можно ожидать некоторую степень несогласованности, и к ней следует относиться терпимо при условии, что она не выходит за определенные "допустимые" рамки.

Чтобы выяснить, является ли уровень согласованности "допустимым", необходимо определить соответствующую количественную меру для матрицы сравнений А. В примере 14.1.2 мы видели, что идеально согласованная матрица А порождает нормализованную матрицу N, в которой все столбцы одинаковы:

Отсюда следует, что матрица сравнений А может быть получена из матрицы N путем деления элементов i-ro столбца на wt (это процесс, обратный к нахождению матрицы N из А). Итак, получаем следующее.

Используя приведенное определение матрицы А, имеем

1 -

1

<<

В компактной форме условие согласованности матрицы А формулируется следующим образом. Матрица А будет согласованной тогда и только тогда, когда

Aw = =nw,

где w - вектор-столбец относительных весов wt, i = 1, 2, п.

Когда матрица А не является согласованной, относительный вес и>1 аппроксимируется средним значением п элементов i-й строки нормализованной матрицы N (см. пример 14.1.2). Обозначив через w вычисленную оценку (среднее значение), можно показать, что

Aw = n„,w,

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [ 178 ] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]