Экспоненциальное сглаживание
Входные данные Вводной интервал, фактор затухания: Г" Цвтхи
Параметры въезда Выходной интервал:
$В$2:$8$25 09
"3
Отмена
Сдэавка
*С$2
I? Вывод [рафика
Г Стандартные остренноети
1 2 3 4 5 6 7
46 #Н/Д 56
54 43 57 56 67
ABC 1 Месяц t Спрос yt Прогноз
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
62 50 56 47 56 54 42 64 60 70 66 57 55
46 47 47.71 47 23, 48 207 48 9863
50 78767 51 9089
51 71801
52 14621
51 63159
52 06843 52 26159 51.23543 52 51189
53 2607 54 93463 56 04117 56 13705
Экспоненциальное сглаживание
1 4
7 10 13 16 19 Точка данных
Рис. 13.2. Применение экспоненциального сглаживания к данным примера 13.2.1
УПРАЖНЕНИЯ 13.2
1. Примените метод экспоненциального сглаживания для данных из упражнения 13.1.2 при а =0,2.
2. Примените метод экспоненциального сглаживания для данных из упражнения 13.1.3 при а= 0,2.
3. Примените метод экспоненциального сглаживания для данных из упражнения 13.1.4 при а= 0,2.
4. Примените метод экспоненциального сглаживания для данных из упражнения 13.1.5 при а= 0,2.
13.3. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
Регрессионный анализ определяет связь между зависимой переменной (например, спросом на продукцию) и независимой переменной (например, временем). Часто применяемая формула регрессии, описывающая зависимость между переменной у и независимой переменной х, имеет вид
у = Ь0 + Ьгх + Ь2хг + ... + Ьпх" + £,
где Ь0, Ь},Ьа - неизвестные параметры. Случайная ошибка £ имеет нулевое математическое ожидание и постоянную дисперсию (т.е. дисперсия случайной величины одинакова для всех наблюдаемых значений у).
Самая простая регрессионная модель предполагает, что зависимая переменная линейна относительно независимой переменной, т.е.
у" = а + Ьх.
Константы а и Ь определяются из временного ряда с использованием метода наименьших квадратов, в соответствии с которым находятся значения этих констант, доставляющих минимум сумме квадратов разностей между наблюдаемыми и вычисленными величинами. Пусть (у,, х) представляет 1-ю точку исходных данных временного ряда, I = 1, 2,..., п. Определим сумму квадратов отклонений между наблюдаемыми и вычисленными величинами.
Значения коэффициентов а и Ь определяются из соответствующих условий минимума функции S, которые представимы в виде следующих уравнений.
f = -2>,-a-) = 0,
- = -2Y(v- a-fcxW=0.
После алгебраических преобразований получаем следующее решение данных уравнений.
Хул-"7* ь = -,
а = у - Ьх,
Ь, ±У,
гдел;= --, у=--. п п
Приведенные соотношения показывают, что сначала необходимо вычислить Ь, а затем величину коэффициента а.
Вычисленные значения а и b имеют силу при любом вероятностном распределении случайных величин yt. Однако если yt являются нормально распределенными случайными величинами с одинаковым стандартным отклонением, можно установить доверительный интервал для среднего значения оценки при х = х° (т.е. для у0 = а + Ьх°) в виде интервала
(a + bx°)
±t.
a/2.n-2
n~2 V
Мы заинтересованы в установлении для прогнозируемых значений зависимой переменной у соответствующих им интервалов предсказания (это важнее, чем доверительный интервал для среднего значения оценки). Как и следовало ожидать, интервал предсказания для значения прогнозируемой величины является более широким, чем доверительный интервал для среднего значения оценки. Действительно формула для интервала предсказания такая же, как и для доверительного интервала, но с той лишь разницей, что член 1/п под вторым квадратным корнем заменен на (п + 1)/п.
Чтобы проверить, насколько линейная модель у*=а + Ьх соответствует исходным данным, необходимо вычислить коэффициент корреляции г согласно формуле:
где -1<г< 1.
Если г = ±1, тогда линейная модель идеально подходит для описания зависимости между у и х. В общем случае, чем ближе \г\ к 1, тем лучше подходит линейная модель. Если же г - 0, величины у и х могут быть независимыми. В действительности равенство г = 0 является лишь необходимым, но не достаточным условием независимости, так как возможен случай, когда для двух зависимых величин коэффициент корреляции будет равен нулю.
Пример 13.3.1
Применим модель линейной регрессии к данным из примера 13.1.1, которые для удобства приведены в табл. 13.6.
Таблица 13.6
Месяц, х, | Спрос, у, | Месяц, х, | Спрос, у, |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
Из данных этой таблицы получаем следующее.