назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [ 171 ] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


171

14 Еще О 100.00%i

Рис. 12.8. Гистограмма для примера 12.5.1

Пример 12.5.2

Проверим данные из примера 12.5.1 на принадлежность предполагаемому экспоненциальному распределению.

Первой задачей является уточнение параметров плотности вероятности и функции распределения, которые определяют теоретическое распределение. Из примера 12.5.1 следует, что Т = 3,934 минуты, поэтому Я. = 1/3,934 = 0,2542 для предполагаемого экспоненциального распределения (см. раздел 12.4.3). Соответствующая плотность вероятности и функция распределения имеют следующий вид.

/(г) = 0,2542е°-2542, />0,

F{T)=\f(t)dt = \-e2saT, Т>0.

Используем теперь функцию распределения F(T) для вычисления ее значений в точках Т= 0,5, 1,5, 11,5 и сравнения их с эмпирическими значениями F„ i = 1, 2,12, которые вычислены в примере 12.5.1. Например,

F(0,5) = l-e-(0-2542>",-5)*0>12.

На рис. 12.9 представлены результаты сравнения. Просмотрев два графика, можем сделать вывод, что экспоненциальное распределение действительно приемлемо для аппроксимации распределения имеющихся данных.

Следующий шаг состоит в применении критерия согласия. Имеется два таких критерия: 1) критерий Колмогорова-Смирнова и 2) критерий /2 (критерий хи-квадрат). Здесь мы ограничимся обсуждением критерия /2.

Критерий х2 основан на измерении отклонений между эмпирическими и теоретическими частотами, соответствующими различным интервалам построенной гистограммы. В частности, теоретическая частота и,-, соответствующая наблюдаемой частоте о, интервала /, вычисляется по формуле

и,=n)/(t)dt = r,(F(Il)-F(l)) = 60{e-е~°™>).



Глава 12. Основы теории вероятностей Эмпирическая функция распределения

Функция экспоненциального распределения

О 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5

t(минуты)

Рис. 12.9. Сравнение эмпирической и теоретической функций распределения

При заданных о, и ni для каждого интервала i мера отклонения между эмпирическими и теоретическими частотами определяется следующей формулой.

Когда количество интервалов N величина % асимптотически стремится к плотности вероятности -распределения с N - k - 1 степенями свободы, где k - число параметров, оцененных на основе исходной информации и использованных для определения теоретического распределения.

Нулевая гипотеза, утверждающая, что наблюденная выборка получена из теоретического распределения f(t), принимается, если %2 <xiv-*-i.i-a> гДе jd-*-u-a - значение х* при N - k-1 степенях свободы, а- уровень значимости критерия. Вычисления в соответствии с критерием показаны в следующей таблице.

Интервал Наблюдаемая частота, о, Теоретическая частота, л, у"

(0,1)

13,47

0,435

(1.2)

10,44

0,570

(2, 3)

8,10

0,100

(3, 4)

6,28

0,083

(4,5)

4,87

(5,6)

3,88

(6,7)

2,93

(7,8)

2,27

(8,9)

25 1,76

•21,71

0,499

(9,10)

1,37

(10,11)

1,06

(11.12)

0,82

(12, ос)

2,75

Всего

п = 60 п = 60

Величина равна 1,705



Существует практическое правило: ожидаемое значение теоретической частоты для любого интервала должно быть не менее 5. Это правило всегда можно выполнить путем объединения последовательных интервалов. В приведенной таблице правило требует формирования единого интервала (4, °°). Количество интервалов становится равным iV=5. Поскольку на основе исходных данных оценивается только один параметр (а именно Л), степень свободы величины х должна равняться 5-1-1 = 3. Если выберем уровень значимости а= 0,05, таблица значений величины (табл. 3 приложения В) дает критическое значение Хз005 = 7,815. Так как значение величины х" (= 1,705) меньше критического, мы принимаем гипотезу, что выборка получена из экспоненциального распределения.

Вычисления предыдущей таблицы можно легко выполнить в Excel на основе данных, полученных при построении гистограммы (рис. 12.8). На рис. 12.10 показано, как решается эта задача. Здесь данные в столбцах А, В и С получены при построении гистограммы (формат данных в столбце С изменен на обычный десятичный формат). Формулы, по которым проводятся вычисления в столбцах D:G, совпадают с формулами критерия j(2.

Карман

Частота (oi) .Интегральный %

0.9999;

0.1831

13.448

0.44562

1 9999

0.317!

10.435

0.568206

2.9999

0.467

8.096

0.100941

"В"

3 9999

0 583

о 281

0.082306i

4.9999

.................6......

0.683

4.873

0.260646*

5.9999J

0.767

3.781

0.393007

6 9999

0.833

2.933

0.388165

7.9999

С.867

2.276

0.033469;

8 9999

С 917

1 766

С 852263

9.9999;

0 967

1.37

1939343

10 9999

0 983

1.063

0.003734

Yi"

1.000;

3.678

1.949887

Сумма

7.027587

Рис. 12.10. Вычисления критического значения критерия согласия

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [ 171 ] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]