назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [ 169 ] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


169

Рис. 12.4. Плотность вероятности нормального распределения

Важность нормального распределения объясняется тем, что распределение среднего достаточно большой выборки, имеющей любое распределение, можно асимптотически аппроксимировать нормальным распределением. Это следует из представленной ниже теоремы.

Центральная предельная теорема. Пусть х1,х2,...,х11 - независимые, одинаково

распределенные случайные величины с математическим ожиданием /и и стандартным отклонением акаждая. Определим сумму

sn = xt+x2 +... + х„.

При возрастании п (п -»°°) распределение случайной величины sn является асимптотически нормальным с математическим ожиданием пц и дисперсией nd независимо от начального распределения величин х1,х1,...,х„.

Центральная предельная теорема свидетельствует, в частности, о том, что среднее выборки объемом п, имеющей любое распределение, асимптотически является нормальным с математическим ожиданием jun дисперсией с?/п.

Функцию нормального распределения трудно представить в виде формулы, пригодной для практических расчетов. В связи с этим составлены специальные таблицы функции нормального распределения (см. табл. 1 в приложении В). Эти таблицы созданы для стандартного нормального распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной единице. Любую нормально распределенную случайную величину х с математическим ожиданием ц и дисперсией о* можно привести к стандартному виду путем замены

Отметим, что около 99 % площади под кривой плотности нормального распределения находится в интервале ц-Ъо<х< ц+Ъо. Этот факт известен под названием "правило трех сигм".

Пример 12.4.4

Внутренний диаметр цилиндра должен иметь размер (спецификацию) 1±0,3 дюйма. Процесс механической обработки таких деталей подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием 1 и стандартным отклонением 0,1 дюйма. Требуется определить процент продукции, удовлетворяющей требованиям спецификации.



Пусть случайная величина х равна диаметру цилиндра. Вероятность того, что цилиндр будет удовлетворять требованиям спецификации, равна

Р{1 - 0,03 < х < 1 + 0,03} = Р{0,97 < х < 1,03}.

При =1и о"= 0,1 эту вероятность можно выразить через стандартное нормальное распределение следующим способом.

Р{0,97 < х < 1,03} = * z £= {-0,3 S z < 0,3} =

= P{z < 0,3} - />{z < -0,3} = P{z < 0,3} -[l - P{z < 0,3}] = = 2P{z < 0,3} -1 = 2x0,6179-1 = 0,2358.

На рис. 12.5 заштрихованная область соответствует искомой вероятности. Заметим, что равенство Р{г < -0,3} = 1 - P{z < 0,3} имеет место в силу симметрии функции плотности вероятностей. Величина 0,6179 (=Р{г<0,3}) взята из таблицы для нормального распределения (табл. 1 приложения В).

-0,3 0 0,3

Рис. 12.5. Вычисление вероятности Р(-0,3<х<0,3} стандартного нормального распределения

УПРАЖНЕНИЯ 12.4.4

1. Инженерный колледж американского университета набирает студентов из числа выпускников средней школы, которые по стандартному тесту ACT для поступающих в колледжи имеют не менее 26 баллов. Результаты тестирования выпускников являются нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 22 балла и стандартным отклонением 2 балла.

a) Определите процент выпускников средней школы, которые являются потенциальными студентами инженерного колледжа.

b) Определите процент выпускников школы, которые не будут приняты в инженерный колледж, если университет не примет ни одного из них с количеством баллов, меньше 17.

2. Вес людей, которые хотят совершить прогулку на вертолете в парке аттракционов, является случайной величиной с математическим ожиданием 180 фунтов и стандартным отклонением 15 фунтов. Вместимость вертолета составляет пять человек, максимальная грузоподъемность - 1000 фунтов. Какова вероятность того, что вертолет не взлетит с пятью пассажирами на борту? (Совет. Используйте центральную предельную теорему.)



3. Внутренний диаметр цилиндра является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 1 дюйм и стандартным отклонением 0,01 дюйма. При сборке внутрь каждого цилиндра вставляется твердый стержень. Диаметр стержня является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 0,99 и стандартным отклонением 0,01 дюйма. Требуется определить процент пар цилиндр-стержень, которые не подойдут для сборки. (Подсказка. Разность двух нормально распределенных случайных величин также является нормально распределенной величиной.)

12.5. ЭМПИРИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В предыдущих разделах мы рассмотрели свойства плотностей вероятностей, функции распределения случайных величин и привели примеры четырех типов распределений. Как определяются эти распределения на практике?

Определение (или, точнее, оценка) любой плотности вероятности случайной величины содержится в необработанной информации, которая собирается в процессе изучения исследуемой ситуации. Например, для оценки плотности вероятности времени между приходом покупателей в бакалейную лавку, сначала фиксируется время их прихода. Искомое время между приходом покупателей находится путем вычитания времен последовательных их приходов.

В этом разделе мы рассмотрим, как собранные данные (именуемые статистическим рядом или выборкой) можно преобразовать в плотность вероятности случайных величин с помощью следующих шагов.

Шаг 1. Отображаем данные в виде подходящей частотной гистограммы и подбираем эмпирическую функцию плотности вероятности.

Шаг 2. Используем критерий согласия, чтобы проверить, совпадает ли полученная эмпирическая функция плотности вероятности с одной из известных плотностей вероятностей.

Рассмотрим детали этой процедуры.

Гистограмма частот. Данная гистограмма строится на основе статистического ряда (выборки) путем деления области изменения исходных данных (от минимального до максимального значения) на непересекающиеся интервалы. При заданных границах (/, ,, /,) интервала i соответствующая частота определяется как число выборочных значений х, которые удовлетворяют неравенству <x<It.

Пример 12.5.1

Данные, приведенные в следующей таблице, представляют время обслуживания (в минутах) 60 посетителей в некотором сервисном центре.

10,6

11,7

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [ 169 ] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]