12.4.2. Распределение Пуассона
Люди приходят в банк или магазин "совершенно случайным" образом. Это означает, что нет никакой возможности предсказать, когда и кто придет. Плотность вероятности случайной величины, которая равна количеству таких посещений на протяжении определенного периода времени, описывается с помощью распределения Пуассона.
Пусть х- количество событий (например, посещений банка или магазина), которые происходят на протяжении единицы времени (например, минуты или часа). Плотность вероятности распределения Пуассона задается формулой
Р{х = к} = -, 4 = 1,2,....
Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона равны соответственно М{х} = Я и D{x) = Я. Из интуитивных соображений формула М{х} - Я должна означать среднее количество событий, происходящих за единицу времени. По существу, это так и есть: параметр Я определяет скорость, с которой происходят события (количество событий за единицу времени).
Распределение Пуассона широко используется в теории массового обслуживания (см. главу 17).
Пример 12.4.2
Заказы на ремонт небольших электродвигателей поступают в мастерскую случайным образом, примерно 10 заказов в день.
1. Каково среднее количество электродвигателей, которые поступают ежедневно в мастерскую?
2. Какова вероятность того, что на протяжении одного часа не поступит ни одного заказа, если мастерская открыта 8 часов в день?
Среднее количество заказов, которые поступают ежедневно в мастерскую, равно Я= 10. Для вычисления вероятности того, что на протяжении одного часа не поступит ни одного заказа, необходимо подсчитать скорость поступления заказов в час, т.е. в среднем Хчас = 10/8 = 1,25 заказа в час. Следовательно,
/>{нет заказов за 1 час} = -= -= 0,2865.
1 1 01 1
УПРАЖНЕНИЯ 12.4.2
1. Клиенты прибывают в учреждение обслуживания в соответствии с распределением Пуассона со скоростью четыре клиента в минуту. Какова вероятность того, что по крайней мере один клиент прибудет в любой заданный 30-секундный интервал времени?
2. Распределение Пуассона с параметром Я аппроксимирует биномиальное распределение с параметрами пир при условии, что п - достаточно большое положительное число, р - очень малое число, а Я примерно равно пр (с математической точки зрения это означает, что п -> °°, р -» О и пр -> Я). Продемонстрируйте это на ситуации, когда известно, что изго-
товленная партия изделий содержит 1% брака. Вычислите вероятность того, что выборка объемом 10 изделий содержит не более одного бракованного изделия, использовав для этого сначала (точное) биномиальное распределение, а затем (приближенное) распределение Пуассона. Покажите, что такое приближение будет неприемлемым, если величина р будет увеличена, скажем, до 0,5.
3. Покупатели подходят к контрольной кассе со средней интенсивностью 20 человек в час.
a) Найдите вероятность того, что касса будет свободной.
b) Какова вероятность того, что в очереди перед кассой будет не менее 2 человек?
4. Докажите приведенные выше формулы для математического ожидания и дисперсии распределения Пуассона.
12.4.3. Отрицательное экспоненциальное распределение
Если число заявок, поступивших в учреждение за определенный период времени, удовлетворяет распределению Пуассона, то распределение интервалов времени между последовательными поступлениями заявок должно следовать отрицательному экспоненциальному (или просто экспоненциальному) распределению. В частности, если X есть скорость появления событий в распределении Пуассона, то распределение времени х между последовательными поступлениями определяется плотностью вероятности
f(x) = Xe, х>0. На рис. 12.3 показан график функции f(x).
Рис. 12.3. Плотность вероятности экспоненциального распределения
Математическое ожидание и дисперсия экспоненциального распределения равны
A# {*} = i, D{x} = ±.
Математическое ожидание М{х} согласуется с определением X. Если X - скорость, с которой происходят события, то 1/Х- средний интервал времени между последовательными событиями.
Пример 12.4.3
Автомобили прибывают на заправочную станцию случайно, в среднем каждые 2 минуты. Вычислите вероятность того, что интервал между последовательными прибытиями автомобилей не превысит 1 минуты.
Искомая вероятность имеет вид Р{х<А}, здесь А = 1 минута. Вычисление требуемой вероятности эквивалентно вычислению значения функции распределения случайной величины х.
Р{х < А} = jXedx = -е 0Л = 1 - е~и. о
Вычисляем скорость прибытия автомобилей.
X = -i прибытия в минуту.
Следовательно,
Р{х<1} = 1-е"0 =0,39.
УПРАЖНЕНИЯ 12.4.3
1. Магазин посещают жители как городской местности, так и сельской. Городские покупатели прибывают со скоростью 5 посетителей в минуту, а сельские - 7 посетителей в минуту. Прибытия покупателей являются случайными событиями. Определите вероятность того, что время между последовательными прибытиями посетителей будет меньше 5 секунд.
2. Докажите приведенные выше формулы для математического ожидания и дисперсии экспоненциального распределения.
12.4.4. Нормальное распределение
Нормальное распределение описывает многие случайные явления, которые происходят в каждодневной жизни, включая анализ счетов, распределение веса и роста людей и многое другое. Плотность вероятности нормального распределения задается формулой
f[x) = -F=e 2al , -~ < х < ~,
где М{х] = /л, D{x) = о2. Нормальное распределение с математическим ожиданием и стандартным отклонением собозначается как N(/u, о).
На рис. 12.4 показан график плотности f(x) нормального распределения. Как видим, плотность вероятности является симметричной функцией относительно математического ожидания ц.