назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [ 168 ] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


168

12.4.2. Распределение Пуассона

Люди приходят в банк или магазин "совершенно случайным" образом. Это означает, что нет никакой возможности предсказать, когда и кто придет. Плотность вероятности случайной величины, которая равна количеству таких посещений на протяжении определенного периода времени, описывается с помощью распределения Пуассона.

Пусть х- количество событий (например, посещений банка или магазина), которые происходят на протяжении единицы времени (например, минуты или часа). Плотность вероятности распределения Пуассона задается формулой

Р{х = к} = -, 4 = 1,2,....

Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона равны соответственно М{х} = Я и D{x) = Я. Из интуитивных соображений формула М{х} - Я должна означать среднее количество событий, происходящих за единицу времени. По существу, это так и есть: параметр Я определяет скорость, с которой происходят события (количество событий за единицу времени).

Распределение Пуассона широко используется в теории массового обслуживания (см. главу 17).

Пример 12.4.2

Заказы на ремонт небольших электродвигателей поступают в мастерскую случайным образом, примерно 10 заказов в день.

1. Каково среднее количество электродвигателей, которые поступают ежедневно в мастерскую?

2. Какова вероятность того, что на протяжении одного часа не поступит ни одного заказа, если мастерская открыта 8 часов в день?

Среднее количество заказов, которые поступают ежедневно в мастерскую, равно Я= 10. Для вычисления вероятности того, что на протяжении одного часа не поступит ни одного заказа, необходимо подсчитать скорость поступления заказов в час, т.е. в среднем Хчас = 10/8 = 1,25 заказа в час. Следовательно,

/>{нет заказов за 1 час} = -= -= 0,2865.

1 1 01 1

УПРАЖНЕНИЯ 12.4.2

1. Клиенты прибывают в учреждение обслуживания в соответствии с распределением Пуассона со скоростью четыре клиента в минуту. Какова вероятность того, что по крайней мере один клиент прибудет в любой заданный 30-секундный интервал времени?

2. Распределение Пуассона с параметром Я аппроксимирует биномиальное распределение с параметрами пир при условии, что п - достаточно большое положительное число, р - очень малое число, а Я примерно равно пр (с математической точки зрения это означает, что п -> °°, р -» О и пр -> Я). Продемонстрируйте это на ситуации, когда известно, что изго-



товленная партия изделий содержит 1% брака. Вычислите вероятность того, что выборка объемом 10 изделий содержит не более одного бракованного изделия, использовав для этого сначала (точное) биномиальное распределение, а затем (приближенное) распределение Пуассона. Покажите, что такое приближение будет неприемлемым, если величина р будет увеличена, скажем, до 0,5.

3. Покупатели подходят к контрольной кассе со средней интенсивностью 20 человек в час.

a) Найдите вероятность того, что касса будет свободной.

b) Какова вероятность того, что в очереди перед кассой будет не менее 2 человек?

4. Докажите приведенные выше формулы для математического ожидания и дисперсии распределения Пуассона.

12.4.3. Отрицательное экспоненциальное распределение

Если число заявок, поступивших в учреждение за определенный период времени, удовлетворяет распределению Пуассона, то распределение интервалов времени между последовательными поступлениями заявок должно следовать отрицательному экспоненциальному (или просто экспоненциальному) распределению. В частности, если X есть скорость появления событий в распределении Пуассона, то распределение времени х между последовательными поступлениями определяется плотностью вероятности

f(x) = Xe, х>0. На рис. 12.3 показан график функции f(x).

Рис. 12.3. Плотность вероятности экспоненциального распределения

Математическое ожидание и дисперсия экспоненциального распределения равны

A# {*} = i, D{x} = ±.

Математическое ожидание М{х} согласуется с определением X. Если X - скорость, с которой происходят события, то 1/Х- средний интервал времени между последовательными событиями.



Пример 12.4.3

Автомобили прибывают на заправочную станцию случайно, в среднем каждые 2 минуты. Вычислите вероятность того, что интервал между последовательными прибытиями автомобилей не превысит 1 минуты.

Искомая вероятность имеет вид Р{х<А}, здесь А = 1 минута. Вычисление требуемой вероятности эквивалентно вычислению значения функции распределения случайной величины х.

Р{х < А} = jXedx = -е 0Л = 1 - е~и. о

Вычисляем скорость прибытия автомобилей.

X = -i прибытия в минуту.

Следовательно,

Р{х<1} = 1-е"0 =0,39.

УПРАЖНЕНИЯ 12.4.3

1. Магазин посещают жители как городской местности, так и сельской. Городские покупатели прибывают со скоростью 5 посетителей в минуту, а сельские - 7 посетителей в минуту. Прибытия покупателей являются случайными событиями. Определите вероятность того, что время между последовательными прибытиями посетителей будет меньше 5 секунд.

2. Докажите приведенные выше формулы для математического ожидания и дисперсии экспоненциального распределения.

12.4.4. Нормальное распределение

Нормальное распределение описывает многие случайные явления, которые происходят в каждодневной жизни, включая анализ счетов, распределение веса и роста людей и многое другое. Плотность вероятности нормального распределения задается формулой

f[x) = -F=e 2al , -~ < х < ~,

где М{х] = /л, D{x) = о2. Нормальное распределение с математическим ожиданием и стандартным отклонением собозначается как N(/u, о).

На рис. 12.4 показан график плотности f(x) нормального распределения. Как видим, плотность вероятности является симметричной функцией относительно математического ожидания ц.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [ 168 ] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]