назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [ 167 ] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


167

Представим теперь плотность совместного распределения следующим образом.

х2 = К

х2=Д

Р\ХЬХг) =

х,=К

5/15

4/15

9/15

4/15

2/15

6/15

Рг(х2)

9/15

6/15

Маргинальные плотности распределения вероятностей p,(#i) и р2(х2) могут быть определены посредством суммирования элементов (соответственно) столбцов или строк в таблице, представляющей значения плотности совместного распределения. Интересно отметить, что, вопреки интуиции, здесь рДдс,) = рг(х2).

Математическое ожидание выигрыша можно определить из совместного распределения, если принять, что изделие К дает 5 долл., а изделие Д - 6. Следовательно,

ожидаемый выигрыш = (5 + $)Jj + {$~{jj +

+ ( + 5)(±) + Н-6)(2) = 1,20.

Тот же результат можем получить, принимая во внимание, что математическое ожидание выигрыша после двух испытаний равно сумме математических ожиданий после каждого испытания в отдельности.

ожидаемый выигрыш =(ожидаемый выигрыш после 1-го испытания)+

+(ожидаемый выигрыш после 2-го испытаиия)=

= 0,60 + 0,60 = 1,20.

Для вычисления дисперсии общего выигрыша заметим, что

1){выигрыша} = £){1-го выигрыша} + £){2-го выигрыша} +

+ 2cov{l-ro выигрыша, 2-го выигрыша}.

Так как р,(х,) = р2(х2), то D{l-ro выигрыша} = D{2-ro выигрыша}. Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой

D{x)=M{x2}-(M{x})\

Следовательно,

£){1-го выигрыша} =

-0, б2 =29,04.

Далее для вычисления ковариации применим формулу

cov{x1,x2} = М {хх2} - М {х М {хг}.



При вычислении значения М{х1х2) нужно знать плотность совместного распределения вероятностей случайных величин хх и х2. Имеем

ковариация:

-0,6x0,6 = -3,23.

Итак,

дисперсия = 29,04 + 29,04 + 2(-3,23) = 51,62.

УПРАЖНЕНИЕ 12.3.3

1. Плотность совместного распределения вероятностей p(xv хг) случайных величин ас, и х2 имеет следующий вид.

x2 = 3

х2 = 5

Х2=7

х, = 1

p(Xi, х2) =

х, =2

Xi = 3

a) Найдите маргинальные плотности вероятностейрДх,) ир2(х2).

b) Являются ли случайные величины и х2 независимыми?

c) Вычислите М{хх + х2).

d) Найдите cov{x,, хг).

e) Вычислите D{5x, - 6х2}.

12.4. НЕКОТОРЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В разделах 12.2 и 12.3 мы рассмотрели равномерные распределения (дискретные и непрерывные). В этом разделе рассматриваются еще четыре распределения случайных величин, которые часто используются в теории исследования операций, - дискретные (биномиальное и Пуассона) и непрерывные (экспоненциальное и нормальное).

12.4.1. Биномиальное распределение

Предположим, предприниматель изготавливает некоторые изделия партиями по п единиц в каждой. Предыдущий опыт свидетельствует, что вероятность появления бракованного изделия в каждой партии равна р. Необходимо определить плотность вероятности числа бракованных изделий в партии.

тт „X Х\(П~Х)\

Имеется С* = 4 -- различных возможностей получить х бракованных изделий в партии из п изделий; вероятность реализации каждой такой комбинации равна р"(1 -р)"~". Отсюда следует, что вероятность того, что в партии из п изделий имеется k бракованных, равна (что следует из закона сложения вероятностей)

Р{х = к} = Ск„рк(1-р)"-\ к =1,2,..., п.



Это формула плотности вероятности биномиального распределения с параметрами пир. Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения равны

М{х) = пр, D{x) - гер(1 -р).

Пример 12.4.1

Некая работа сопряжена с десятью поездками на автомобиле между двумя городами. Выполнив все 10 поездок, работник может отдыхать остаток дня, что является достаточным стимулом для превышения скорости. Опыт показывает, что вероятность получения штрафа за превышение скорости в каждой поездке туда и обратно равна 40 %.

1. Какова вероятность того, что рабочий день закончится без получения штрафа?

2. Если штраф равен 150 долл., то каково среднее значение дневного штрафа?

Вероятность быть оштрафованным в одной поездке равна р = 0,4. Следовательно, вероятность того, что рабочий день закончится без штрафа, равна

р{х = 0} = С,°0 (0,4)" (0, б)10 = 0,006047.

Это значит, что шанс закончить рабочий день без штрафа меньше одного процента. Средний штраф = 150М{*} = 80(гер) = 80 х 10 х 0,4 = 320 (долл.).

УПРАЖНЕНИЯ 12.4.1

1. Симметричная игральная кость бросается 10 раз. Какова вероятность того, что ни разу не выпадет четное число очков?

2. Пусть независимо бросаются пять симметричных монет. Какова вероятность того, что в точности одна из монет выпадет одной стороной, а остальные четыре - другой?

3. Гадалка утверждает, что по почерку она может предсказать, достигнет ли человек благосостояния на протяжении всей своей жизни. Для проверки этого попросили 10 миллионеров и 10 профессоров предоставить образцы их почерка. Затем эти образцы были представлены гадалке попарно - по одной подписи миллионера и профессора в каждой паре. Считается, что утверждение гадалки является правильным, если она сделала по меньшей мере восемь правильных предсказаний. Какова вероятность того, что утверждение гадалки будет "удачным"?

4. Казино предлагает следующую игру. Вы, игрок, выбираете число от 1 до 6. Затем одновременно бросаются три игральные кости. Казино вам выплачивает столько долларов, сколько будет совпадений на костях с вашим выбранным числом. Если таких совпадений нет, то вы платите казино 1 долл. Каков ваш долговременный ожидаемый выигрыш в этой игре?

5. Предположим, что вы играете в следующую игру. Вы бросаете две игральные кости. Если выпавшие числа на костях различные, то вы теряете 10 центов. Если же эти числа совпадают, то вы получаете 50 центов. Каков ожидаемый выигрыш в этой игре?

6. Докажите приведенные выше формулы для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [ 167 ] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]