назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [ 166 ] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


166

дискретных значений х, D{x} - взвешенную сумму квадратов отклонения случайной величины х от М{х]. Ситуацию с непрерывно распределенной случайной величиной можно интерпретировать аналогично, заменив суммирование интегрированием.

Пример 12.3.2

Вычислим математическое ожидание и дисперсию для каждого из двух экспериментов, рассмотренных в примере 12.2.1.

Ситуация 1 (бросание игральной кости). Здесь плотность вероятности равна

р(х) = -, дг = 1,2,...,6. Следовательно, 6

0{л-} = -[(1-3,5):+(2-3,5):+(3-3,5)2+(4-3,5)2+(5-3,5)2+(6-3,5)2] = 2,917 . Ситуация 2 (вращение стрелки). Пусть длина стрелки равна единице. Тогда

f(x)=-, 0<х<3,14.

V ; 3,14

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются следующим образом.

314 .

М{х}= f x-=-dx = \,57 , 1 oJ 3,14

D{x}= /(лг-1,57)2 -\-dx = 0,822,

УПРАЖНЕНИЯ 12.3.2

1. Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины, определенной в упражнении 12.2.1.1.

2. Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины, определенной в упражнении 12.2.1.2.

3. Покажите, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины х, равномерно распределенной на интервале а < х < Ь, равны

, Ь + а 1 ; 2

. . (h-n)-

4. Докажите, что для случайной величины х, определенной на интервале а < х < Ь с заданной плотностью вероятности f(x), имеет место соотношение

D{x} = M{x2}-(M{x}f.



5. Пусть для случайной величины х, определенной на интервале а < х < Ь, задана плотность вероятности f(x) иусх + d, где end - константы. Докажите, что имеют место соотношения

M{y} = cM{x} + d, В{у} = сЩх}.

12.3.2. Совместные распределения вероятностей

Рассмотрим две непрерывно распределенные случайные величины х и х2, которые определены соответственно на интервалах а, < х, < 6, и а2 < хг < Ьг. Обозначим через f(xv х2) плотность совместного распределения вероятностей величин х, и х2, а через /,(*,) и f2(x2) - маргинальные (частные) плотности распределения вероятностей величин х, и х2 соответственно. Тогда

/(x,,x,)>0, a, <x,<bv аг<хг<Ьг, Лг, Лг,/(х,,х,) = 1,

/.Ы = \f{x„x2)dx2,

fi(xi) = \f{xvx,)dxt,

/(x,,x,) = /,(х,)/2(х2), еслих, их, независимы.

Такие же формулы используются для дискретно распределенных случайных величин, которые получаются в результате замены интегрирования суммированием.

Далее в этом разделе рассматриваются функции от нескольких случайных переменных. В частности, рассмотрим две ситуации.

1. у = х,х2,

2. у = с,х,+с,х2,

где х,их2 - случайные величины, плотность совместного распределения вероятностей которых задана функцией /(х„ х2).

Если х, и х2 независимые случайные величины, то

М{х,х2)=М{х,)М{х2).

Для суммы случайных величин х, и х2 без учета их зависимости можно доказать, что

М{с,х, + с2х2) = clM{xl) + с2М{х2).

Кроме того,

D{c,x, + с,х,} = c,2D{x,} + c;D{x2} + 2c,c2cov{x,,x,}, где ковариация cov{xj, х2) случайных величин и х2 вычисляется по формуле



cov{x„x,} = М{(*, -М{xt})(x2 -М{х2})} = М\х{х2 -х,М[х2}~х2М{х,} + М{хх}М{х2}} = = М{х,х2}-М{х,}М{х2}.

Если хх и х2- независимые случайные величины, то М{хххг) = М{хх)М{х2) hcov{x,, хг) = 0. Обратное утверждение неверно в том смысле, что две зависимые случайные величины могут иметь ковариацию, равную нулю.

Пример 12.3.3

Партия изделий содержит четыре дефектных (Д) и шесть качественных (К) изделий. Случайным образом выбирается и проверяется одно изделие. Затем, не возвращая его, выбирают и тестируют другое. Пусть случайные величины хх и х2 представляют исходы тестирования первого и второго изделий соответственно.

1. Определим плотность совместного распределения вероятностей случайных величин х, и х2.

2. Найдем маргинальную плотность вероятности случайной величины х2.

3. Предположим, мы получаем 5 долл. за каждое качественное изделие из выбранных и платим 6 долл., если изделие бракованное. Найдем математическое ожидание и дисперсию выигрыша после двух испытаний.

Обозначим через р(хх, х2) плотность совместного распределения вероятностей случайных величин х, и х2, а через рДх,) и р2(х2) - их маргинальные плотности вероятностей. Определим сначалар,(х,) как

Мы знаем, что исход х2 второго испытания зависит от xv По этой причине для определения р2(х2) сначала определим плотность р(хх, х2) совместного распределения вероятностей случайных величин хг и х2, после чего можно будет определить маргинальную плотность вероятности р2(х2). Имеем

Для определения р(х1У х2) воспользуемся формулой Р{АВ} = Р{А В}Р{В} (см. раздел 12.1.2). Получаем следующее.

Pi(K) = - = 0,

6 А(Д) = = 0,4.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [ 166 ] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]