назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [ 165 ] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


165

х из интервала 0<х<М могут приниматься с равной вероятностью и распределение х должно быть равномерным.

В данном случае плотность вероятности f(x) случайной величины х определяется следующим образом.

/(*) = -, 0<х<к1.

Функция распределения F(X) случайной величины х вычисляется по формуле

F(X) = P{x<X} = f- dx=-, 0<Х<л/. J тс/ Til

На рис. 12.2 представлены графики этих двух функций.

-Функция

распределения F(x)

Плотность вероятности/(х)

О к1 х

Рис. 12.2. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

УПРАЖНЕНИЯ 12.2

1. Некоторая величина принимает случайным образом целочисленное значение х из интервала [1, 5]. Плотность вероятности р(х) этой величины прямо пропорциональна значению х с коэффициентом пропорциональности К.

a) Определите плотность вероятности и функцию распределения данной случайной величины, нарисуйте графики полученных функций.

b) Определите вероятность того, что случайная величина примет значение, равное четному числу.

2. Дана следующая функция:

f(x) = JLt 10<х<20.

a) Найдите значение константы k, при котором функция f(x) будет плотностью вероятности.

b) Найдите функцию распределения случайной величины х и определите вероятность того, что случайная величина х примет значение: а) больше 12, б) между 13 и 15.

3. Дневная потребность в бензине без свинца является равномерно распределенной случайной величиной, изменяющейся в интервале от 750 до 1250



галлонов. Бензоцистерна емкостью 1100 галлонов наполняется ежедневно в полночь. Какова вероятность того, что цистерна будет пустой как раз перед заполнением ее бензином?

12.3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть х - случайная величина, h(x) - некоторая функция от х. Математическим ожиданием случайной функции h(x), которое обозначается как M{h(x)}, называется средняя величина, взвешенная по отношению к плотности вероятности случайной величины х. При заданной плотности вероятности р(х) или f(x) (для дискретной и непрерывной случайных величин соответственно) величина M{h(x)} вычисляется следующим образом:

M{h(x)}-

h(x) р(х), если х - дискретная случайная величина,

х=а Ь

h(x)f[x)dx, если х - непрерывная случайная величина.

Пример 12.3.1

В течение первой недели каждого месяца я, как и большинство людей, оплачиваю все свои счета и отвечаю на некоторые письма. С этой целью я обычно покупаю 20 почтовых марок. Число используемых марок является случайной величиной, принимающей значения от 10 до 24 с равными вероятностями. Найдем, чему равно среднее число оставшихся марок.

Пусть х - количество используемых марок, тогда плотность вероятности х такова:

р(х) = -, х = 10,11,..., 24. w 15

Количество оставшихся марок определяется соотношением

[20-х, х = 10,11, ...,19,

Следовательно,

4х)- ,

10 в противном случае.

М {h(x)} = -[(20 -10) + (20 -11) + (20 -12) +... + (20 -19)] + 0 = з.

Произведение 0 необходимо для завершения вычисления математического ожидания. Вероятность того, что вообще не останется марок, равна

Р{х > 20} = Р(20) + Р(21)+ Р(22) + Р(23)+ Р(24) = 5(jj] = "[J-



УПРАЖНЕНИЯ 12.3.1

1. В задаче из примера 12.3.1 вычислите среднее количество оставшихся марок при условии, что ежемесячно покупается число марок, соответствующее максимально возможной потребности в них.

2. Результаты решения задачи из примера 12.3.1 и предыдущего упражнения приводят к положительным значениям средних величин как при избытке, так и недостаче марок. Являются ли эти результаты противоречивыми? Дайте объяснение.

3. Владелец газетного киоска каждое утро приобретает для продажи 50 экземпляров газеты Аль Ахрам. Ежедневный спрос х на эту газету является случайной величиной со следующим распределением

Р(х):

х = 35, 36, ...,49,

х = 50,51.....59,

-, х = 60,61.....70.

a) Найдите вероятность того, что все газеты будут проданы.

b) Вычислите ожидаемое число непроданных газет.

c) Если владелец киоска приобретает газеты за 50 центов, продает за 1 долл., то какова его ожидаемая чистая прибыль в день?

12.3.1. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Для общей характеристики свойств одномерной случайной величины х обычно используется две числовые характеристики: математическое ожидание (среднее) М{х} и дисперсия D{x}. Математическое ожидание является характеристикой положения распределения случайной величины х на числовой оси относительно начала координат, а дисперсия - мерой ее разброса относительно математического ожидания М{х). Большее значение дисперсии свидетельствует о более высокой степени неопределенности в описании случайной величины.

Формулы для математического ожидания и дисперсии случайной величины х могут быть получены из общей формулы для математического ожидания путем подстановки h(x) = х для М{х) и Л(х) = (х - М{х})2 для D{x}. Следовательно,

М{Х}-

]Г хр (х), если х - дискретная случайная величина,

jV (x)dx, если х - непрерывная случайная величина,

(х-М{х})~ р(х), если а: - дискретная случайная величина, ь

J(x - М {*}) f (x)dx, если х - непрерывная случайная величина.

Обоснованность вывода указанных формул легче просматривается для дискретного распределения. В этом случае М{х) представляет собой взвешенную сумму

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [ 165 ] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]