х из интервала 0<х<М могут приниматься с равной вероятностью и распределение х должно быть равномерным.
В данном случае плотность вероятности f(x) случайной величины х определяется следующим образом.
/(*) = -, 0<х<к1.
Функция распределения F(X) случайной величины х вычисляется по формуле
F(X) = P{x<X} = f- dx=-, 0<Х<л/. J тс/ Til
На рис. 12.2 представлены графики этих двух функций.
-Функция
распределения F(x)
Плотность вероятности/(х)
О к1 х
Рис. 12.2. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
УПРАЖНЕНИЯ 12.2
1. Некоторая величина принимает случайным образом целочисленное значение х из интервала [1, 5]. Плотность вероятности р(х) этой величины прямо пропорциональна значению х с коэффициентом пропорциональности К.
a) Определите плотность вероятности и функцию распределения данной случайной величины, нарисуйте графики полученных функций.
b) Определите вероятность того, что случайная величина примет значение, равное четному числу.
2. Дана следующая функция:
f(x) = JLt 10<х<20.
a) Найдите значение константы k, при котором функция f(x) будет плотностью вероятности.
b) Найдите функцию распределения случайной величины х и определите вероятность того, что случайная величина х примет значение: а) больше 12, б) между 13 и 15.
3. Дневная потребность в бензине без свинца является равномерно распределенной случайной величиной, изменяющейся в интервале от 750 до 1250
галлонов. Бензоцистерна емкостью 1100 галлонов наполняется ежедневно в полночь. Какова вероятность того, что цистерна будет пустой как раз перед заполнением ее бензином?
12.3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Пусть х - случайная величина, h(x) - некоторая функция от х. Математическим ожиданием случайной функции h(x), которое обозначается как M{h(x)}, называется средняя величина, взвешенная по отношению к плотности вероятности случайной величины х. При заданной плотности вероятности р(х) или f(x) (для дискретной и непрерывной случайных величин соответственно) величина M{h(x)} вычисляется следующим образом:
M{h(x)}-
h(x) р(х), если х - дискретная случайная величина,
х=а Ь
h(x)f[x)dx, если х - непрерывная случайная величина.
Пример 12.3.1
В течение первой недели каждого месяца я, как и большинство людей, оплачиваю все свои счета и отвечаю на некоторые письма. С этой целью я обычно покупаю 20 почтовых марок. Число используемых марок является случайной величиной, принимающей значения от 10 до 24 с равными вероятностями. Найдем, чему равно среднее число оставшихся марок.
Пусть х - количество используемых марок, тогда плотность вероятности х такова:
р(х) = -, х = 10,11,..., 24. w 15
Количество оставшихся марок определяется соотношением
[20-х, х = 10,11, ...,19,
Следовательно,
4х)- ,
10 в противном случае.
М {h(x)} = -[(20 -10) + (20 -11) + (20 -12) +... + (20 -19)] + 0 = з.
Произведение 0 необходимо для завершения вычисления математического ожидания. Вероятность того, что вообще не останется марок, равна
Р{х > 20} = Р(20) + Р(21)+ Р(22) + Р(23)+ Р(24) = 5(jj] = "[J-
УПРАЖНЕНИЯ 12.3.1
1. В задаче из примера 12.3.1 вычислите среднее количество оставшихся марок при условии, что ежемесячно покупается число марок, соответствующее максимально возможной потребности в них.
2. Результаты решения задачи из примера 12.3.1 и предыдущего упражнения приводят к положительным значениям средних величин как при избытке, так и недостаче марок. Являются ли эти результаты противоречивыми? Дайте объяснение.
3. Владелец газетного киоска каждое утро приобретает для продажи 50 экземпляров газеты Аль Ахрам. Ежедневный спрос х на эту газету является случайной величиной со следующим распределением
Р(х):
х = 35, 36, ...,49,
х = 50,51.....59,
-, х = 60,61.....70.
a) Найдите вероятность того, что все газеты будут проданы.
b) Вычислите ожидаемое число непроданных газет.
c) Если владелец киоска приобретает газеты за 50 центов, продает за 1 долл., то какова его ожидаемая чистая прибыль в день?
12.3.1. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
Для общей характеристики свойств одномерной случайной величины х обычно используется две числовые характеристики: математическое ожидание (среднее) М{х} и дисперсия D{x}. Математическое ожидание является характеристикой положения распределения случайной величины х на числовой оси относительно начала координат, а дисперсия - мерой ее разброса относительно математического ожидания М{х). Большее значение дисперсии свидетельствует о более высокой степени неопределенности в описании случайной величины.
Формулы для математического ожидания и дисперсии случайной величины х могут быть получены из общей формулы для математического ожидания путем подстановки h(x) = х для М{х) и Л(х) = (х - М{х})2 для D{x}. Следовательно,
М{Х}-
]Г хр (х), если х - дискретная случайная величина,
jV (x)dx, если х - непрерывная случайная величина,
(х-М{х})~ р(х), если а: - дискретная случайная величина, ь
J(x - М {*}) f (x)dx, если х - непрерывная случайная величина.
Обоснованность вывода указанных формул легче просматривается для дискретного распределения. В этом случае М{х) представляет собой взвешенную сумму