назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [ 164 ] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


164

12.1.2. Условные вероятности

Для данных двух событий Е nF условная вероятность события Е при условии, что наступило событие F, обозначается как Р{ Е \ F} и определяется по формуле

P[EIF} = P§} P[F}>°-

Если событие Е содержится в событии F (т.е. множество исходов Е является подмножеством множества исходов F), тогда P{EF} = Р{Е}.

Два события Е и F являются независимыми тогда и только тогда, когда выполняется равенство Р{ Е \ F} = Р{Е). В этом случае формула условной вероятности сводится к следующему

P{EF}-P{E)P{F}.

Пример 12.1.2

Предположим, вы участвуете в игре, в которой другой человек бросает игральную кость. Вы не можете видеть игральную кость, но вам сообщается некоторая информация об исходах бросания кости. Вам необходимо предсказать возможный исход каждого бросания кости. Определим вероятность того, что исходом будет число 6 при условии, что вам сообщили о том, что исходом бросания кости является четное число.

Пусть Е = {6}; определим F = {2, 4 или 6}. Следовательно,

PiElF]-llEl-£lE.-iiL-L

1 1 P{F} P{F} () 3

Заметим, что P{EF} = Р{Е}, так как множество исходов Е является подмножеством множества исходов F.

УПРАЖНЕНИЯ 12.1.3

1. Вернитесь к примеру 12.1.2. Предположим, вам сообщили, что исход бросания кости меньше 6.

a) Определите вероятность выпадения четного числа.

b) Определите вероятность выпадения нечетного числа, превышающего 1.

2. Докажите, что если выполняется равенство Р{А \ В] = Р{А}, то события А и В независимы.

3. Теорема Байеса.1 Покажите, что для двух заданных событий А и В имеет место соотношение

Р{В\А}Р{А}

Р{А\В}=- , л 1 1 Р{В}

гдеР{В}>0.

1 Более детально теорема Байеса представлена в разделе 14.2.2.



4. Завод А поставляет в магазин 75 % продаваемых аккумуляторов, а завод В- 25%. Процент бракованных аккумуляторов равен 1 и 2% соответственно для заводов А и В. Клиент купил в магазине аккумулятор.

a) Какова вероятность того, что аккумулятор бракованный?

b) Если купленный аккумулятор является бракованным, какова вероятность того, что он изготовлен на заводе А? (Совет. Используйте теорему Байеса из предыдущего упражнения.)

5. Статистика свидетельствует, что 70 % мужчин болеют какой-нибудь формой рака предстательной железы. Американский тест PSA в 90 % случаев дает положительный результат для пораженных болезнью мужчин и в 10 % - для здоровых. Какова вероятность того, что мужчина, имеющий положительный результат теста, имеет рак предстательной железы?

12.2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Исходы эксперимента (испытания) обычно либо выражаются в числовом виде, либо им можно поставить в соответствие некоторые действительные числа. Например, исходы бросания игральной кости выражаются в виде целых чисел от 1 до 6. А проверка на брак некоторого изделия дает два исхода: некачественное и качественное. В этом случае можно использовать число 0 для представления исхода "некачественный" и 1 - для исхода "качественный". Численное представление исходов эксперимента - это то, что именуется случайной величиной.2

Случайная величина х может быть дискретной или непрерывной. Например, случайная величина, связанная с бросанием игральной кости, является дискретной со значениями от 1 до 6, тогда как время между поступлениями заявок в систему обслуживания выражается непрерывной случайной величиной с положительными значениями.

Как непрерывная, так и дискретная случайная величина имеют плотность распределения вероятностей, которая часто именуется просто плотностью вероятности и обозначается как f(x) (для непрерывной случайной величины) или р(х) (для дискретной случайной величины). Плотности вероятностей должны удовлетворять условиям, перечисленным в следующей таблице.

Характеристики плотности

Случайная величина х

Дискретная

Непрерывная

Область определения

х= а, а+ 1 о

а< х< Ь

Условия неотрицательности

р(х) > 0,

f(x) > 0,

и нормировки

)f{x)dx=l

«

Условие неотрицательности для непрерывных и дискретных распределений означает, что плотность вероятности не может принимать отрицательные значения (в противном случае вероятность некоторых событий могла бы быть отрицательной).

Случайную величину можно считать функцией, отображающей пространство элементарных исходов на пространство действительных чисел. - Прим. ред.



Условие нормировки показывает, что сумма вероятностей по всему пространству событий должна быть равна единице.

Самой важной вероятностной характеристикой случайной величины является функция распределения, определяемая следующим образом:

1{х< Х} =

Р(Х) = р(х) для дискретной случайной величины х,

F(X)= j/(jc)<iv для непрерывной случайной величиных.

Пример 12.2.1

Рассмотрим ситуацию с бросанием игральной кости. Пусть хе {1, 2, 3, 4, 5,6} - случайная величина, представляющая количество выпавших очков. Тогда плотность вероятности и функция распределения вероятности случайной величины х определяются следующим образом.

р(х) = -, х = 1,2.....6,

Р(Х) = -, Х = 1,2.....6.

На рис. 12.1 приведены графики этих двух функций. Плотность вероятности р(х) является равномерной дискретной функцией, так как любые значения случайной величиной принимаются с одинаковыми вероятностями.

----Функция

распределения Р(х)

Плотность вероятности р(х)

Рис. 12.1. Функция распределения и плотность вероятности дискретной случайной величины

Непрерывный аналог равномерной плотности вероятности можно получить на основе следующего эксперимента. Стрелка длиной I закреплена подвижно на оси в центре круга, радиус которого также равен I. На окружности выбирается точка отсчета, стрелка вращается в направлении часовой стрелки, по окружности измеряется расстояние х, пройденное стрелкой от точки отсчета. Такая случайная величина х является непрерывной, принимающей значения из интервала 0 < х < М. Нет никаких оснований считать, что стрелка будет иметь тенденцию останавливаться в некоторой области окружности чаще, чем в других областях. Поэтому все значения

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [ 164 ] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]