назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [ 163 ] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]


163

ГЛАВА 12

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Все методы решения задач исследования операций, изложенные в предыдущих главах, предполагают, что необходимые для их реализации данные известны точно. Однако это предположение выполняется не во всех случаях. Например, потребность в электроэнергии в летние месяцы может меняться от года к году в зависимости от погодных условий. В таких случаях представление потребности в виде постоянной детерминированной величины неприемлемо. Вместо этого можно использовать данные наблюдений или статистические источники для описания потребности с помощью вероятностного распределения.

12.1. ЗАКОНЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Понятие вероятности ассоциируется с проведением эксперимента, результаты которого, именуемые исходами, изменяются случайным образом. Множество всех возможных исходов эксперимента называется пространством событий, а любое подмножество этого пространства - событием. Например, в эксперименте с бросанием игральной шестигранной кости исход соответствует грани кости, т.е. может принимать значение от 1 до 6. Следовательно, пространство событий представляет собой множество {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Примером события в этом эксперименте может, например, быть выпадение четного числа (2, 4 или 6).

Эксперимент может быть связан также с непрерывным пространством событий. Например, время между отказами некоторого электронного устройства может принимать любое неотрицательное значение.

Если в эксперименте, состоящем из п опытов, событие Е имеет место т раз, то вероятность Р{Е) появления события Е математически определяется соотношением

Р[Е) = \\т-.

»->» п

Приведенное определение означает, что если эксперимент повторяется бесконечное число раз (п -» оо), искомая вероятность представляется граничным значением дроби ml п. Это определение можно проверить, проведя эксперимент с бросанием монеты, исходами которого являются выпадение герба (Г) и решетки (Р). Чем большее число раз бросается монета (проводится эксперимент), тем ближе оценки Р{Р} и Р{Г} к теоретическому значению 0,5.



Глава 12. Основы теории вероятностей

По определению

0<Р{Е}< 1,

где вероятность Р{Е} равна 0, если событие Е невозможно, и 1, если оно достоверно. Например, в эксперименте с шестигранной игральной костью выпадение семерки является невозможным событием, тогда как любое целое число от 1 до 6 - событие достоверное.

1. В ходе анализа, проведенного в средних школах штата Арканзас в целях изучения зависимости между успеваемостью по математике и поступлением в технические колледжи, получены следующие данные: из 1000 опрошенных выпускников 400 изучали математику. Из тех, кто изучал математику, лишь 150 были приняты в технические колледжи.

a) Определите вероятность того, что студент, изучавший математику, 1) поступит в технический колледж, 2) не поступит в технический колледж.

b) Определите вероятность того, что студент, не изучавший математику, не поступит в технический колледж.

2. Рассмотрим случайную совокупность из п человек. Определите наименьшее п такое, что более вероятным будет событие, состоящее в совпадении дней рождения нескольких человек (т.е. более вероятным по сравнению с событием, что у всех индивидуумов в данной совокупности даты рождения различны). (Совет. Предположите, что нет високосных годов и все дни года с равной вероятностью могут быть днем рождения каждого человека.)

12.1.1. Закон сложения вероятностей

Для данных двух событий Е и F запись Е + F обозначает их объединение, a EF - пересечение. События Е и F называются несовместными (взаимно исключающими), если они не пересекаются, т.е. наступление одного события исключает возможность реализации другого. При принятых определениях закон сложения вероятностей определяется соотношением

Вероятность того, что события Е и F произойдут одновременно, обозначается как P{EF}. Если эти события независимы, тогда

P{EF)=P{E)P{F}.

Пример 12.1.1

Рассмотрим эксперимент с игральной костью. В данном случае пространство событий представляет собой множество (1, 2, 3, 4, 5, 6}. Для симметричной кости имеем

УПРАЖНЕНИЯ 12.1.1

Р{Е} + P{F}, если Е и F несовместные,

Р{Е}+ P{F)- P{EF) в противном случае.

Р{1}=Р{2} = Я{3} = Я{4} = Р{5} = Я{6} = 1.

Определим события

£ = {1,2, 3 или 4}, F = {3,4 или 5}.



12.1. Законы теории вероятностей 509

Исходы 3 и 4 являются общими для событий Е и F. Следовательно, EF = = {3 или 4}. Имеем

/-{£} = Р{1} + Р{2} + ф} + /-{4} = 1Л1 + и,

/-{F} = P{3} + P{4} + P{5} = i + I + I = i

P{EF} = P{3} + P{A} = yr1-. Отсюда следует, что

Р{Е + F} = Р{Е} + P{F} - P{EF) = I + 1 - I = .

Чисто интуитивно этот результат понятен, так как событие (Е + F) = {1, 2, 3, 4, 5}, очевидно, имеет вероятность 5/6.

УПРАЖНЕНИЯ 12.1.2

1. Игральная кость бросается дважды. Обозначив через Е и F исходы независимых бросаний, вычислите вероятности следующих событий.

a) Сумма £ и F равна 11.

b) Сумма EiiF четная.

c) Сумма EiiF нечетная и больше 3.

d) Е меньше 6 и F нечетно и больше 1.

e) Ебольше 2 поменьше4.

f) Е равно 4 и сумма Е и F нечетная.

2. Бросаются независимо две игральные кости и записываются выпавшие числа.

a) Какова вероятность того, что оба числа являются четными?

b) Какова вероятность того, что сумма двух чисел равна 10?

c) Какова вероятность того, что два числа отличаются по меньшей мере на 3?

3. Можно бросать симметричную монету до 7 раз и выиграть 100 долл., если появится по крайней мере три герба до появления решетки. Каковы шансы выиграть 100 долл.?

4. Анна, Джим, Джон и Лиза участвуют в теннисном турнире. Вероятность того, что Анна победит Джима, в два раза выше вероятности обратного результата, а мастерство Джима оценивается на том же уровне, что и мастерство Джона. В прошлом Лиза выигрывала у Джона примерно один раз из трех.

a) Какова вероятность того, что Джим выиграет турнир?

b) Какова вероятность того, что турнир выиграет женщина?

c) Какова вероятность того, что турнир женщина не выиграет?

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [ 163 ] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293]