a) Найдите оптимальное решение, определяющее количество изделий, которые необходимо изготовить на каждом из четырех этапов.
b) Предположим, что на этапе 4 требуется 10 дополнительных изделий. На каких этапах следует их изготовить?
3. В течение последующих пяти этапов спрос на некоторое изделие можно удовлетворить при обычном режиме работы, сверхурочных работах и субподряде. Субподряды можно использовать лишь при недостатке возможностей сверхурочных работ. Данные о производственных мощностях и объемах спроса приведены в следующей таблице.
Производственные мощности (единицы)
Этап | Обычный режим работы | Сверхурочные работы | Субподряд | Спрос |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
Предполагается, что затраты на производство единицы продукции на всех этапах одинаковы и составляют 4, 6 и 7 долл. при обычном режиме работы, сверхурочных работах и субподряде соответственно. Затраты на хранение единицы продукции на каждом этапе равны 0,50 долл. Требуется найти оптимальное решение.
11.3.2. Модель с затратами на оформление заказа
В рассматриваемой модели предполагается, что дефицит не допускается и затраты на оформление заказа учитываются всякий раз, когда начинается производство новой партии продукции. Здесь будут рассмотрены два метода решения этой задачи: точный метод динамического программирования и эвристический.
Данная задача управления запасами схематически представлена на рис. 11.9. На этом рисунке использованы обозначения следующих величин, определенных для каждого этапа i, i = 1, 2.....п.
2, - количество заказанной продукции (объем заказа),
D, - потребность в продукции (спрос),
х, - объем запаса на начало этапа L
*»+1
Рис. 11.9. Схема управления запасами с затратами на оформление заказа
Стоимостные элементы в рассматриваемой задаче определяются так: Kt - затраты на оформление заказа,
Л, - затраты на хранение единицы продукции, переходящей из этапа i в этап i +1.
Соответствующая функция производственных затрат для этапа I задается формулой
где с[г) - функция предельных производственных затрат при заданном значении zt.
Алгоритм динамического программирования с общей функцией стоимости. Поскольку дефицит не допускается, задача управления запасами сводится к вычислению значений zt, минимизирующих суммарные затраты, связанные с размещением заказов, закупкой и хранением продукции на протяжении п этапов. Затраты на хранение на £-м этапе для простоты предполагаются пропорциональными величине
которая представляет собой объем запаса, переходящего из этапа i в этап i + 1.
Для рекуррентного уравнения процедуры прямой прогонки состояние на этапе (периоде) i определяется как объем запаса хм на конец этапа, где, как следует из рис. 11.9,
Это неравенство означает, что в предельном случае запас может удовлетворить спрос на всех последующих этапах.
Пусть /,(х1+]) - минимальные общие затраты на этапах 1,2, i при заданной величине запаса xi+t на конец этапа i. Тогда рекуррентное уравнение алгоритма прямой прогонки будет записано следующим образом.
Требуется найти оптимальную стратегию в трехэтапной системе управления запасами, которая формулируется ниже. Начальный запас равен хх = 1 единице продукции. Предполагается, что предельные затраты на приобретение продукции составляют 10 долл. за каждую единицу для первых трех единиц и 20 долл. - за каждую дополнительную единицу.
Период/ Спрос, D; (единицы) Затраты на оформление заказа, К,(долл.) Затраты на хранение, ft, (долл.) 13 3 1
2 2 7 3
3 4 6 2
Функция производственных затрат для периода i равна Ct(z) = Kt + ct(z) для zt > 0, где
= x, + zl-D,
0 <*,+1<Д+1 + ...+£>„.
Пример 11.3.2
Ci(zi) + Л1Х2 Оптимальное
| rnx2 | z, =2 | | | | | | | решение |
C,(z,) = 23 | | | | | | | |
| | | | | | | | | 23 2 |
| | | | | | | | | 34 3 |
| | | | | | | | | 55 4 |
| | | | | | | | | 76 5 |
| | | | | | | | | 97 6 |
| | | | | | | | | 118 7 |
| | | | | | | | | 139 8 |
Так как я, = 1, минимальное значение гх равно D, - хг = 3 - 1 = 2.
Этап 2. Д, = 2, 0 < я, < 4.
C2(z2) + h2x3 + f 1 (хЗ + D2 - z2) Оптимальное
z2 = 0 1 2 3 4 5 6 решение
хЗ п2хЗ C2(z2) = 0 17 27 37 57 77 97 f2(x3) z"
| | 0 + 55 = 55 | 17 + 34 = 51 | 27 + 23 = 50 | | | | | |
| | 3 + 76 = 79 | 20 + 55 = 75 | 30 + 34 = 64 | 40 + 23 = 63 | | | | |
| | 6 + 97 = 103 | 23 + 76 = 99 | 33 + 55 = 88 | 43 + 34 = 77 | 63 + 23 = 86 | | | |
| | 9 + 118 = 127 | 26 + 97 = 123 | 36 + 76 = 112 | 46 + 55 = 101 | 66 + 34 = 100 | 86 + 23 = 109 | | |
| | 12 + 139 = 151 | 29 + 118 = 147 | 39 + 97 = 136 | 49 + 76 = 125 | 69 + 55 = 124 | 89 + 34= 109 + 23 123 =132 | | |
ЭтапЗ. D, = 4, я4 = 0.
| Сз(гз) + Л3Х4 + k(xt + D3-Z3) | | Оптимальное |
| гз = 0 1 2 3 | | решение |
*4 Л3Х4 | Сз(гз) = 0 16 26 36 | | г3" |
0 0 | 0 + 123= 123 16 + 100 = 116 26 + 77 = 103 36 + 63 = 99 | 56 + 50 = 106 | 99 3 |
Оптимальное решение определяется следующим образом:
(я4 = 0) -> [г3 = 3] -> (я4 = 0 + 4 - 3 = 1) -> [г2 = 3] -> (я2 = 1 + 2 - 3 = 0) -> [г, = 3]. Отсюда получаем решение-, =2, z\ = Ъ тл = 3, тлртл этом общие затраты составляют 99 долл.
Этап 1. D, = 3, 0 < я2 < 2 + 4 = 6.